Exercice 45

1. Un morphisme d'anneaux $f : \mathbb{Z} \to A$ est un morphisme de groupes additifs tel que $f(1) = 1_{A}$ ; par l'exercice 25, $f(n) = n \cdot 1_{A}$. Réciproquement, cette application respecte l'addition, envoie $1$ sur $1_{A}$, et $(n \cdot 1_{A})(m \cdot 1_{A}) = (nm) \cdot 1_{A}$ par la proposition 13. $$\boxed{\text{l'unique morphisme d'anneaux de } \mathbb{Z} \text{ dans } A \text{ est } n \mapsto n \cdot 1_{A}}$$

2. Soit $f$ un endomorphisme de $\mathbb{Q}$. Par la question 1, $f(n) = n$ pour $n \in \mathbb{Z}$. Pour $\frac{p}{q}$ avec $q \neq 0$, $q f\big(\frac{p}{q}\big) = f(p) = p$, donc $f\big(\frac{p}{q}\big) = \frac{p}{q}$. $\boxed{f = \mathrm{id}_{\mathbb{Q}}}$

3. (a) Le raisonnement de la question 2 s'applique : $f(x) = x$ pour $x \in \mathbb{Q}$.

(b) Si $x \geqslant 0$, alors $f(x) = f\big(\sqrt{x}^{2}\big) = f(\sqrt{x})^{2} \geqslant 0$. Si $x \leqslant y$, alors $f(y) - f(x) = f(y - x) \geqslant 0$ : $f$ est croissante.

(c) Supposons $f(x) < x$ pour un réel $x$. Par densité, il existe un rationnel $r$ tel que $f(x) < r < x$. Mais $r < x$ donne $r = f(r) \leqslant f(x)$, ce qui est absurde. De même, $f(x) > x$ est impossible. $$\boxed{\text{le seul endomorphisme de l'anneau } \mathbb{R} \text{ est } \mathrm{id}_{\mathbb{R}}}$$

4. On a $f(\mathrm{i})^{2} = f(-1) = -1$, donc $f(\mathrm{i}) = \pm\mathrm{i}$, et $f(a + \mathrm{i} b) = a + bf(\mathrm{i})$. Réciproquement, l'identité et la conjugaison conviennent. $$\boxed{f = \mathrm{id}_{\mathbb{C}} \quad\text{ou}\quad f : z \mapsto \overline{z}}$$

5. Soit $f$ un automorphisme de $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$. Comme à la question 2, $f$ est l'identité sur $\mathbb{Q}$. De plus $f(\sqrt{2})^{2} = f(2) = 2$, donc $f(\sqrt{2})$ vaut $\sqrt{2}$ ou $-\sqrt{2}$. Ainsi, pour tous rationnels $a$ et $b$, $$f(a + b\sqrt{2}) = a \pm b\sqrt{2},$$ et $f$ est l'identité ou l'automorphisme $\sigma$ du cours. $$\boxed{\text{les automorphismes de } \mathbb{Q}[\sqrt{2}] \text{ sont } \mathrm{id} \text{ et } \sigma}$$ À retenir. L'ordre de $\mathbb{R}$ est « algébrique » : les réels positifs sont exactement les carrés. C'est ce qui rend $\mathbb{R}$ si rigide, alors que $\mathbb{C}$, qui n'est pas ordonnable (cours, section 11.4), possède la conjugaison.