ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 11 — Structures algébriques usuelles · Exercices de synthèse

Exercice 46

Vrai ou fauxDémonstration

Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse par une démonstration ou un contre-exemple.

1. Toute loi de composition interne associative admet un élément neutre.

2. Dans un groupe, $(xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1}$ pour tous $x$ et $y$ .

3. Dans un groupe, si $x^{2} = y^{2}$ et $x^{3} = y^{3}$ , alors $x = y$ .

4. La réunion de deux sous-groupes d'un groupe est un sous-groupe.

5. Un endomorphisme injectif d'un groupe fini est un automorphisme.

6. Les groupes $(\mathbb{U}_{4}, \times)$ et $(\mathcal{P}(\{1, 2\}), \Delta)$ sont isomorphes.

7. Dans un anneau, si $ab = 0$ , alors $a = 0$ ou $b = 0$ .

8. Tout sous-anneau d'un corps est un anneau intègre.

9. Le groupe des inversibles de $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ est isomorphe au groupe des rotations du carré de l'introduction du cours.

10. Dans un anneau intègre fini, tout élément non nul est inversible.

Corrigé

1. Faux. L'addition sur $\mathbb{N}^{*}$ est associative, sans élément neutre.

2. Vrai. C'est le point (iii) de la proposition 2.

3. Vrai. On a $x = x^{3}(x^{2})^{-1} = y^{3}(y^{2})^{-1} = y$ .

4. Faux. La réunion $2\mathbb{Z} \cup 3\mathbb{Z}$ contient $2$ et $3$ , mais pas $5$ (cours, remarque qui suit la proposition 8 ; exercice 18).

5. Vrai. Une application injective d'un ensemble fini dans lui-même est bijective (chapitre 2, théorème 2).

6. Faux. Dans $\mathcal{P}(\{1, 2\})$ , tout élément vérifie $x \,\Delta\, x = \varnothing$ , alors que $\mathrm{i}^{2} \neq 1$ dans $\mathbb{U}_{4}$ (cours, section 11.3.7).

7. Faux. Dans $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ , les indicatrices de $\mathbb{R}_{+}$ et de $\mathbb{R}_{-}^{*}$ sont non nulles, de produit nul.

8. Vrai. Un sous-anneau d'un corps est commutatif, non nul puisqu'il contient $1 \neq 0$ , et sans diviseur de zéro, puisqu'un corps est intègre (proposition 15).

9. Vrai. On a $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]^{\times} = \mathbb{U}_{4}$ (cours), et $r_{k} \mapsto \mathrm{i}^{k}$ est un isomorphisme du groupe des rotations du carré sur $\mathbb{U}_{4}$ .

10. Vrai. C'est l'exercice 44. $\boxed{\text{vrais : } 2, 3, 5, 8, 9, 10 ; \qquad \text{faux : } 1, 4, 6, 7}$

Énoncé PDF, p. 11 Corrigé PDF, p. 20 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Lois de composition interne Monoïdes et éléments inversibles Sous-groupes Morphismes de groupes Anneaux Corps Morphismes d'anneaux, sous-anneaux

Thèmes

lois de composition, élément neutre, éléments inversibles, sous-groupes, morphismes, isomorphismes, anneaux, anneaux intègres

Notions

loi de composition interne, élément neutre, inversible, sous-groupe, morphisme de groupes, isomorphisme, anneau, anneau intègre, corps, sous-anneau