Exercice 47

1. Pour toute permutation $\sigma$ et tous $x$, $y$, on a $\sigma(x \star y) = \sigma(x)$ et $\sigma(x) \star \sigma(y) = \sigma(x)$, qui sont égaux. En fait, toute application de $E$ dans $E$ respecte cette loi. $$\boxed{\text{la loi } x \star y = x \text{ convient, quel que soit } E}$$ L'hypothèse seule ne limite donc pas le nombre d'éléments de $E$ ; c'est la commutativité, ajoutée à partir de la question 3, qui le fera.

2. Supposons $x \star x = y$ avec $y \neq x$. Comme $E$ a au moins trois éléments, il existe $z \notin \{x, y\}$. Soit $\tau$ la permutation qui échange $y$ et $z$ et fixe tous les autres éléments, en particulier $x$. Alors $$\tau(x \star x) = \tau(y) = z, \qquad\text{alors que}\qquad \tau(x) \star \tau(x) = x \star x = y,$$ et $z \neq y$ : c'est absurde. $\boxed{x \star x = x \text{ pour tout } x \in E}$

3. Soit $\tau$ la permutation qui échange $x$ et $y$ et fixe les autres éléments. Par hypothèse et par commutativité, $$\tau(x \star y) = \tau(x) \star \tau(y) = y \star x = x \star y.$$ L'élément $x \star y$ est donc fixé par $\tau$, alors que $\tau$ ne fixe ni $x$ ni $y$. $\boxed{x \star y \notin \{x, y\}}$

Si $E = \{x, y\}$ avait exactement deux éléments, $x \star y$ appartiendrait à $E = \{x, y\}$, ce qui vient d'être exclu.

4. Supposons que $E$ contienne quatre éléments distincts, et soit $x \neq y$ deux d'entre eux. Par la question 3, $z = x \star y$ est distinct de $x$ et de $y$, et il existe un quatrième élément $w \notin \{x, y, z\}$. La permutation $\tau$ qui échange $z$ et $w$ fixe $x$ et $y$, donc $$\tau(x \star y) = \tau(z) = w, \qquad\text{alors que}\qquad \tau(x) \star \tau(y) = x \star y = z,$$ ce qui est absurde. Ainsi $E$ est fini et a au plus trois éléments ; la question 3 exclut deux éléments, et un ensemble à un élément convient, avec son unique loi. $$\boxed{\text{si la loi est commutative, } E \text{ a un ou trois éléments}}$$

5. Soit $\star$ une telle loi sur $E = \{a, b, c\}$. Par la question 2, $x \star x = x$ ; par la question 3, si $x \neq y$, alors $x \star y$ est le troisième élément de $E$. La loi est donc imposée. Réciproquement, cette loi convient : si $\sigma$ est une permutation, $\sigma(x \star x) = \sigma(x) = \sigma(x) \star \sigma(x)$, et si $x$, $y$, $z$ sont les trois éléments distincts de $E$, alors $\sigma(x)$, $\sigma(y)$, $\sigma(z)$ sont encore les trois éléments distincts de $E$, puisque $\sigma$ est injective, donc $\sigma(x) \star \sigma(y) = \sigma(z) = \sigma(x \star y)$. On obtient la table suivante.

Elle n'est pas associative, puisque $(a \star a) \star b = a \star b = c$, alors que $a \star (a \star b) = a \star c = b$. Elle n'a pas d'élément neutre : si $e$ était neutre, on aurait $e \star x = x$ pour un $x \neq e$, alors que $e \star x$ est le troisième élément. $$\boxed{\text{une seule loi : } x \star x = x, \ \ x \star y = \text{le troisième élément si } x \neq y \ ; \ \text{ni associative, ni neutre}}$$ En numérotant $a$, $b$, $c$ par $0$, $1$, $2$, cette loi s'écrit $x \star y \equiv -(x + y) \ [3]$, avec les congruences du chapitre 2 : on vérifie que $-2x \equiv x \ [3]$, et que la somme des trois éléments est $3 \equiv 0 \ [3]$.

Piège. On ne peut pas se passer de la commutativité dans les questions 3 et 4 : la question 1 fournit, sur tout ensemble, une loi que respectent toutes les permutations. Par ailleurs, une loi « parfaitement symétrique » n'est pas pour autant une bonne loi : celle que l'on obtient sur trois éléments n'est ni associative ni munie d'un élément neutre, et elle est très loin d'une loi de groupe.