Exercice 48

1. La fonction constante égale à $1$ est continue, et la différence et le produit de deux fonctions continues sur $D$ sont continus (chapitre 8) : $\mathcal{C}(D)$ est un sous-anneau de $\mathcal{F}(D, \mathbb{R})$. Une fonction $p$ de $D$ dans $\mathbb{R}$ vérifie $p^{2} = p$ si et seulement si, pour tout $x \in D$, $p(x)\big(p(x) - 1\big) = 0$, c'est-à-dire $p(x) \in \{0, 1\}$ ; elle est alors l'indicatrice de $X = \{x \in D \mid p(x) = 1\}$. Réciproquement, $\mathbf{1}_{X}^{2} = \mathbf{1}_{X}$. $$\boxed{\text{idempotents de } \mathcal{F}(D, \mathbb{R}) : \ \text{les } \mathbf{1}_{X}, \ X \in \mathcal{P}(D)}$$

2. Soit $p$ un idempotent de $\mathcal{C}(I)$ ; il ne prend que les valeurs $0$ et $1$. S'il prenait les deux, en $a$ et en $b$, alors $p$ serait continue sur le segment d'extrémités $a$ et $b$, contenu dans l'intervalle $I$, et le théorème des valeurs intermédiaires (théorème 8 du chapitre 8) fournirait un point $c$ où $p(c) = \frac{1}{2}$, ce qui est impossible. Ainsi $p$ est constante. $$\boxed{\text{les seuls idempotents de } \mathcal{C}(I) \text{ sont } 0 \text{ et } 1}$$

3. L'ensemble $D_{n}$ est la réunion disjointe des $n + 1$ intervalles $J_{0} = \,]-\infty\,,1[$, $J_{k} = \,]k\,,k + 1[$ pour $1 \leqslant k \leqslant n - 1$, et $J_{n} = \,]n\,,+\infty[$ ; pour $n = 0$, il n'y a que $J_{0} = \mathbb{R}$. Soit $p$ un idempotent de $\mathcal{C}(D_{n})$. Sa restriction à chaque $J_{k}$ est un idempotent de $\mathcal{C}(J_{k})$, donc elle est constante, égale à $0$ ou à $1$ par la question 2. Ainsi $p$ est l'indicatrice de la réunion des $J_{k}$ pour $k$ dans une partie $S$ de $[\![0\,;n]\!]$, et $S$ est déterminée par $p$.

Réciproquement, pour toute partie $S$ de $[\![0\,;n]\!]$, la fonction $p_{S}$ qui vaut $1$ sur les $J_{k}$ avec $k \in S$ et $0$ sur les autres est idempotente, et elle est continue : tout point $x_{0}$ de $D_{n}$ appartient à un intervalle ouvert $J_{k}$, qui contient un intervalle $]x_{0} - \eta\,,x_{0} + \eta[$ sur lequel $p_{S}$ est constante. L'application $S \mapsto p_{S}$ est donc une bijection de $\mathcal{P}([\![0\,;n]\!])$ sur l'ensemble des idempotents, et ce dernier a $2^{n + 1}$ éléments (proposition 6 du chapitre 1). $$\boxed{\mathcal{C}(D_{n}) \text{ possède } 2^{n + 1} \text{ idempotents}}$$ Pour $\mathbb{R}^{*}$, qui est la réunion des deux intervalles $]-\infty\,,0[$ et $]0\,,+\infty[$, le même raisonnement donne quatre idempotents : $0$, $1$, $\mathbf{1}_{\mathbb{R}_{+}^{*}}$ et $\mathbf{1}_{\mathbb{R}_{-}^{*}}$.

4. Si $p^{2} = p$, alors $f(p)^{2} = f(p^{2}) = f(p)$ : $f$ envoie les idempotents de $A$ dans ceux de $B$. La réciproque $f^{-1}$ est encore un morphisme d'anneaux : pour $u$, $v$ dans $B$, les éléments $f^{-1}(u + v)$ et $f^{-1}(u) + f^{-1}(v)$ ont la même image $u + v$ par $f$, donc sont égaux par injectivité ; de même pour le produit, et $f^{-1}(1_{B}) = 1_{A}$. Elle envoie donc les idempotents de $B$ dans ceux de $A$, et $f$ induit une bijection entre les deux ensembles d'idempotents.

Si $\mathcal{C}(D_{n})$ et $\mathcal{C}(D_{m})$ étaient isomorphes, on aurait $2^{n + 1} = 2^{m + 1}$, donc $n = m$. $$\boxed{\mathcal{C}(D_{n}) \text{ et } \mathcal{C}(D_{m}) \text{ ne sont pas isomorphes si } n \neq m \ ; \ \text{en particulier } \mathcal{C}(\mathbb{R}) \not\simeq \mathcal{C}(\mathbb{R}^{*})}$$

5. Si $x \notin \mathbb{N}$, $g(x) = x$ est un réel non nul qui n'est pas dans $\mathbb{N}^{*}$ ; si $x \in \mathbb{N}$, $g(x) = x + 1 \in \mathbb{N}^{*}$. L'application $g$ envoie donc $\mathbb{N}$ sur $\mathbb{N}^{*}$ par $x \mapsto x + 1$, qui est bijective, et $\mathbb{R} \setminus \mathbb{N}$ sur $\mathbb{R}^{*} \setminus \mathbb{N}^{*} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{N}$ par l'identité : $g$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}^{*}$. L'application $\Phi : \varphi \mapsto \varphi \circ g$ respecte les opérations, définies point par point, puisque $$(\varphi + \psi) \circ g = \varphi \circ g + \psi \circ g \qquad\text{et}\qquad (\varphi\psi) \circ g = (\varphi \circ g)(\psi \circ g),$$ et elle envoie la constante $1$ sur la constante $1$. Elle est bijective, de réciproque $\chi \mapsto \chi \circ g^{-1}$. $$\boxed{\mathcal{F}(\mathbb{R}^{*}, \mathbb{R}) \simeq \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})}$$ L'hypothèse qui fait la différence est la continuité : $g$ n'est pas continue, et $\varphi \circ g$ n'a aucune raison de l'être quand $\varphi$ l'est. Sans continuité, l'anneau ne voit que le nombre d'éléments de l'ensemble de départ.

À retenir. Les idempotents d'un anneau de fonctions continues comptent les « morceaux » de l'ensemble de définition. Une propriété purement algébrique, invariante par isomorphisme, détecte ainsi une propriété géométrique ; c'est le théorème des valeurs intermédiaires qui fait le lien.