Exercice 49

1. D'après l'exercice 31, l'ordre de tout élément divise $4$. $$\boxed{\text{ordres possibles : } 1, 2, 4}$$

2. Les éléments $e$, $x$, $x^{2}$, $x^{3}$ sont distincts (exercice 31, question 4), et $G$ en a quatre, donc $G = \{e, x, x^{2}, x^{3}\}$. Comme à la question 5 de l'exercice 31, $x^{k} \mapsto \mathrm{i}^{k}$ est bien défini, puisque $x^{k} = x^{\ell}$ si et seulement si $4$ divise $k - \ell$, et c'est un isomorphisme sur $\mathbb{U}_{4}$. $$\boxed{G \simeq (\mathbb{U}_{4}, \times)}$$

3. Tout élément différent de $e$ est alors d'ordre $2$, donc $x^{2} = e$ pour tout $x$, et $G$ est abélien (exercice 12). Soit $a \neq e$ et $b \notin \{e, a\}$. Le produit $ab$ n'est ni $e$, ce qui donnerait $b = a^{-1} = a$, ni $a$, ce qui donnerait $b = e$, ni $b$, ce qui donnerait $a = e$. Ainsi $G = \{e, a, b, ab\}$, et l'on obtient la table à l'aide de $a^{2} = b^{2} = e$ et $ab = ba$ :

La bijection $e \mapsto \varnothing$, $a \mapsto \{1\}$, $b \mapsto \{2\}$, $ab \mapsto \{1, 2\}$ transporte cette table sur celle de la différence symétrique, puisque $\{1\} \,\Delta\, \{2\} = \{1, 2\}$. $$\boxed{G \simeq (\mathcal{P}(\{1, 2\}), \Delta)}$$

4. Les deux cas s'excluent, puisque les groupes $\mathbb{U}_{4}$ et $\mathcal{P}(\{1, 2\})$ ne sont pas isomorphes (cours, section 11.3.7). $$\boxed{\text{deux groupes à quatre éléments, à isomorphisme près, tous deux abéliens}}$$

5. Les nombres $2$, $3$ et $5$ sont premiers : un groupe ayant ce nombre d'éléments est isomorphe à $\mathbb{U}_{2}$, $\mathbb{U}_{3}$ ou $\mathbb{U}_{5}$ (exercice 31, question 5), donc abélien. Tout groupe d'au plus cinq éléments est ainsi abélien, et $\mathfrak{S}_{3}$, à six éléments, ne l'est pas. $$\boxed{\text{le plus petit groupe non abélien a six éléments}}$$