Exercice 50

1. La partie $X = G$ vérifie $\langle G \rangle = G$ : l'ensemble des cardinaux des parties génératrices est une partie non vide de $\mathbb{N}$, qui admet un plus petit élément. Le sous-groupe $\langle \varnothing \rangle$ est l'intersection de tous les sous-groupes de $G$ ; il contient $e$ et il est contenu dans le sous-groupe $\{e\}$, donc $\langle \varnothing \rangle = \{e\}$. Ainsi $r(G) = 0$ si et seulement si $G = \{e\}$.

Soit $n \geqslant 2$ et $\omega = \mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/n}$. D'après l'exercice 20, $\langle \{\omega\} \rangle$ est l'ensemble des puissances $\omega^{k}$, $k \in \mathbb{Z}$, qui est $\mathbb{U}_{n}$ (chapitre 4). Comme $\mathbb{U}_{n} \neq \{1\}$, on obtient $r(\mathbb{U}_{n}) = 1$.

Le sous-groupe engendré par un seul élément $x$ est formé des puissances de $x$, qui commutent entre elles d'après la proposition 4 ; or $\mathfrak{S}_{3}$ n'est pas abélien (proposition 5), donc $r(\mathfrak{S}_{3}) \geqslant 2$. Le sous-groupe $\langle \{c, t_{1}\} \rangle$ contient les quatre éléments distincts $\mathrm{id}$, $c$, $c^{2}$ et $t_{1}$ ; par le théorème de Lagrange, son nombre d'éléments divise $6$, donc il vaut $6$. $$\boxed{r(\mathbb{U}_{n}) = 1 \ (n \geqslant 2), \qquad r(\mathfrak{S}_{3}) = 2}$$

2. Le sous-groupe $H$ de $G$, contenu dans $K$, est un sous-groupe du groupe $K$. Le théorème de Lagrange, appliqué dans $K$, montre que $\mathrm{card}(H)$ divise $\mathrm{card}(K)$. Comme $x \in K \setminus H$, on a $\mathrm{card}(K) > \mathrm{card}(H)$, et le quotient $\frac{\mathrm{card}(K)}{\mathrm{card}(H)}$ est un entier au moins égal à $2$. $$\boxed{\mathrm{card}(K) \geqslant 2\,\mathrm{card}(H)}$$

3. On pose $H_{0} = \{e\} = \langle \varnothing \rangle$. Tant que $H_{k} \neq G$, on choisit $x_{k+1} \in G \setminus H_{k}$, et l'on pose $H_{k+1} = \langle H_{k} \cup \{x_{k+1}\} \rangle$. Par récurrence, $H_{k} = \langle \{x_{1}, \dots, x_{k}\} \rangle$ : en effet, un sous-groupe contient $H_{k} \cup \{x_{k+1}\}$ si et seulement s'il contient $x_{1}, \dots, x_{k+1}$, puisque $H_{k}$ est le plus petit sous-groupe contenant $x_{1}, \dots, x_{k}$. Par la question 2 et une récurrence immédiate, $$2^{k} \leqslant \mathrm{card}(H_{k}) \leqslant \mathrm{card}(G).$$ La construction s'arrête donc, à un rang $s$ tel que $H_{s} = G$ et $2^{s} \leqslant \mathrm{card}(G)$. La partie $\{x_{1}, \dots, x_{s}\}$ engendre $G$, donc $r(G) \leqslant s$. $$\boxed{2^{r(G)} \leqslant \mathrm{card}(G), \quad\text{soit}\quad r(G) \leqslant \frac{\ln \mathrm{card}(G)}{\ln 2}}$$

4. Dans $(\mathcal{P}(E), \Delta)$, la loi est commutative et associative, de neutre $\varnothing$, et toute partie est son propre symétrique, puisque $A \,\Delta\, A = \varnothing$. D'après l'exercice 20, un élément de $\langle \{A_{1}, \dots, A_{k}\} \rangle$ est une différence symétrique de termes pris parmi les $A_{i}$. En regroupant les termes égaux, ce qui est permis par commutativité, et en supprimant les paires $A_{i} \,\Delta\, A_{i} = \varnothing$, on l'écrit sous la forme $\Delta_{i \in S}\, A_{i}$, différence symétrique des $A_{i}$ pour $i$ dans une partie $S$ de $[\![1\,;k]\!]$. Il y a $2^{k}$ telles parties $S$ (proposition 6 du chapitre 1). $$\boxed{\mathrm{card}\,\langle \{A_{1}, \dots, A_{k}\} \rangle \leqslant 2^{k}}$$ Si $k$ parties engendrent $\mathcal{P}(E)$, qui a $2^{d}$ éléments, alors $2^{d} \leqslant 2^{k}$, donc $k \geqslant d$. Réciproquement, les $d$ singletons engendrent $\mathcal{P}(E)$, puisque toute partie $A$ est la différence symétrique des singletons $\{a\}$, $a \in A$, deux à deux disjoints. $$\boxed{r(\mathcal{P}(E)) = d, \qquad \mathrm{card}(\mathcal{P}(E)) = 2^{r(\mathcal{P}(E))}}$$

5. On calcule les puissances de $x = (-1, j)$ dans le groupe produit, à l'aide de $j^{3} = 1$ : $$x^{0} = (1, 1), \quad x = (-1, j), \quad x^{2} = (1, j^{2}), \quad x^{3} = (-1, 1), \quad x^{4} = (1, j), \quad x^{5} = (-1, j^{2}).$$ Ces six éléments sont distincts, et $\mathbb{U}_{2} \times \mathbb{U}_{3}$ en a six : $x$ engendre ce groupe. Dans $\mathbb{U}_{2} \times \mathbb{U}_{2}$, en revanche, tout élément $y$ vérifie $y^{2} = (1, 1)$, donc le sous-groupe engendré par $y$ est $\{(1, 1), y\}$, qui a au plus deux éléments sur quatre ; la question 3 donne $2^{r} \leqslant 4$. $$\boxed{r(\mathbb{U}_{2} \times \mathbb{U}_{3}) = 1, \qquad r(\mathbb{U}_{2} \times \mathbb{U}_{2}) = 2}$$ À retenir. Le rang ne dépend pas seulement du nombre d'éléments : $\mathbb{U}_{4}$ et $\mathbb{U}_{2} \times \mathbb{U}_{2}$ ont quatre éléments, mais des rangs $1$ et $2$. Comme un isomorphisme transporte les parties génératrices, cela redonne que ces deux groupes ne sont pas isomorphes (exercice 49). La borne $2^{r(G)} \leqslant \mathrm{card}(G)$ est atteinte par les groupes $\mathcal{P}(E)$, où chaque nouveau générateur double exactement le sous-groupe déjà obtenu.