Exercice 51

1. Un point fixe de $f : t \mapsto at + b$ vérifie $(1 - a)t = b$. Si $a = 1$ et $b \neq 0$, $f$ est une translation, sans point fixe : elle n'appartient pas à $\Gamma$. Un élément de $\Gamma$ avec $a = 1$ est donc l'identité. Si $a \neq 1$, le point fixe est unique, égal à $\frac{b}{1 - a}$. $$\boxed{\text{tout élément de } \Gamma \setminus \{\mathrm{id}\} \text{ a un unique point fixe, et vérifie } a \neq 1}$$

2. Le coefficient de $t$ dans une composée de fonctions affines est le produit des coefficients, et celui de $f^{-1}$ est $\frac{1}{a}$. Le coefficient de $f \circ g \circ f^{-1} \circ g^{-1}$ est donc $a \cdot a' \cdot \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a'} = 1$.

3. Si $f$ et $g$ sont dans $\Gamma$, alors $c = f \circ g \circ f^{-1} \circ g^{-1}$ est dans $\Gamma$ et a pour coefficient $1$ : par la question 1, $c = \mathrm{id}$, c'est-à-dire $f \circ g = g \circ f$.

4. On a $f(g(\omega)) = g(f(\omega)) = g(\omega)$ : $g(\omega)$ est un point fixe de $f$, donc $g(\omega) = \omega$ par unicité. Ainsi $\omega$ est fixé par tout élément de $\Gamma$, l'identité comprise. Si $\Gamma = \{\mathrm{id}\}$, tout point convient. $$\boxed{\text{les éléments de } \Gamma \text{ ont un point fixe commun}}$$ À retenir. L'hypothèse porte sur chaque élément séparément, la conclusion sur tous à la fois : c'est la structure de groupe, à travers le commutateur $f \circ g \circ f^{-1} \circ g^{-1}$, qui relie les deux.