Exercice 52

1. L'axe des abscisses est la droite $(OI)$, et l'axe des ordonnées est la perpendiculaire à $(OI)$ passant par $O$ : ce sont des droites constructibles.

Si $x = 0$, les trois points sont égaux à $O$. Si $x \neq 0$ et si l'un des trois points est constructible, le cercle de centre $O$ passant par ce point est constructible ; il a pour rayon $|x|$, et il coupe les axes en $(x, 0)$, $(-x, 0)$, $(0, x)$ et $(0, -x)$, qui sont donc constructibles.

Si $(x, 0)$ est constructible, $x$ est l'abscisse d'un point constructible, donc $x \in K$. Réciproquement, soit $x \in K$ et $M$ un point constructible dont $x$ est l'abscisse ou l'ordonnée. Dans le premier cas, la perpendiculaire à l'axe des abscisses passant par $M$ coupe cet axe en $(x, 0)$ ; dans le second, la perpendiculaire à l'axe des ordonnées passant par $M$ coupe cet axe en $(0, x)$, et l'on conclut par ce qui précède. $$\boxed{x \in K \iff (x, 0) \text{ constructible} \iff (0, x) \text{ constructible}, \qquad\text{et}\qquad -K = K}$$

2. Les points $(x, 0)$ et $(0, y)$ sont constructibles par la question 1. La perpendiculaire à l'axe des abscisses passant par $(x, 0)$ et la perpendiculaire à l'axe des ordonnées passant par $(0, y)$ se coupent en $(x, y)$, qui est donc constructible. Si $y = 0$, on a $x + y = x - y = x \in K$. Sinon, le cercle de centre $(x, 0)$ passant par $(x, y)$ a pour rayon $|y|$, et il coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses $x + |y|$ et $x - |y|$, c'est-à-dire $x + y$ et $x - y$. $$\boxed{x + y \in K \qquad\text{et}\qquad x - y \in K}$$

3. Les points $I$ et $Y(0, y)$ sont distincts et constructibles, et la droite $(IY)$ est dirigée par le vecteur $(-1, y)$. Sa parallèle passant par $X(x, 0)$ est formée des points $(x - t, ty)$, $t \in \mathbb{R}$ ; elle n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées, et elle le coupe pour $t = x$, au point constructible $(0, xy)$. C'est le théorème de Thalès : le rapport des ordonnées $\frac{xy}{y}$ est égal au rapport des abscisses $\frac{x}{1}$.

De même, la droite $(XJ)$ est dirigée par $(-x, 1)$, et sa parallèle passant par $I$, formée des points $(1 - tx, t)$, coupe l'axe des ordonnées pour $t = \frac{1}{x}$, au point constructible $\big(0, \frac{1}{x}\big)$. $$\boxed{xy \in K \qquad\text{et}\qquad \frac{1}{x} \in K}$$ Si $x$ ou $y$ est nul, $xy = 0$ appartient aussi à $K$, abscisse de $O$. Ainsi $K$ est une partie de $\mathbb{R}$ qui contient $1$, stable par différence et par produit : c'est un sous-anneau de $\mathbb{R}$, donc un anneau commutatif non nul, dans lequel tout élément non nul a son inverse. C'est un sous-corps de $\mathbb{R}$. Il contient $1$, donc $\mathbb{Z}$, par stabilité par somme et par différence, puis tous les quotients $\frac{p}{q}$ avec $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \mathbb{N}^{*}$. $$\boxed{K \text{ est un sous-corps de } \mathbb{R} \text{ contenant } \mathbb{Q}}$$

4. Comme $K$ est un corps, $m = \frac{a - 1}{2}$ appartient à $K$, et le point $M(m, 0)$, milieu de $[AB]$, est constructible, de même que $B$. Le cercle de centre $M$ passant par $B$ est donc constructible, et c'est le cercle de diamètre $[AB]$, de rayon $\frac{a + 1}{2}$. Il coupe l'axe des ordonnées aux points $(0, h)$ tels que $$\Big(\frac{a - 1}{2}\Big)^{2} + h^{2} = \Big(\frac{a + 1}{2}\Big)^{2}, \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad h^{2} = \frac{(a + 1)^{2} - (a - 1)^{2}}{4} = a.$$ Le point $H(0, \sqrt{a})$ est constructible ; c'est la relation $OH^{2} = OA \times OB$ dans le triangle $AHB$, rectangle en $H$. $$\boxed{a \in K, \ a \geqslant 0 \implies \sqrt{a} \in K}$$ Le cas $a = 0$ est immédiat.

5. D'après les questions 3 et 4, $\sqrt{5} \in K$, donc $c = \cos\frac{2\pi}{5} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4} \in K$, puis $\cos\frac{4\pi}{5} = 2c^{2} - 1 \in K$. Les cosinus des angles $\frac{2k\pi}{5}$, pour $0 \leqslant k \leqslant 4$, valent $1$, $c$, $2c^{2} - 1$, $2c^{2} - 1$ et $c$, puisque $\cos\frac{6\pi}{5} = \cos\frac{4\pi}{5}$ et $\cos\frac{8\pi}{5} = \cos\frac{2\pi}{5}$. Les sinus correspondants valent $\pm\sqrt{1 - \cos^{2}\frac{2k\pi}{5}}$, qui sont dans $K$ par la question 4 et la stabilité par passage à l'opposé. On conclut par la question 2. $$\boxed{\text{les sommets du pentagone régulier sont constructibles}}$$ Pour $k = 1$, on trouve $\sin\frac{2\pi}{5} = \sqrt{1 - c^{2}} = \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{8}}$. ✓

À retenir. La structure de corps transforme une question de géométrie, qui demande quels points l'on peut construire, en une question d'algèbre, qui demande quels nombres l'on obtient à partir de $0$ et de $1$ par les quatre opérations et la racine carrée. C'est sous cette seconde forme que l'on démontre l'impossibilité de certaines constructions.