Exercice 53

1. Soit $x \neq 0$ dans $H$ ; comme $-x \in H$, l'un des deux est strictement positif. La partie $H \cap \,]0\,,+\infty[$ est non vide et minorée par $0$ : elle a une borne inférieure $\alpha \geqslant 0$ (chapitre 7).

2. (a) Supposons $\alpha \notin H$. Par la caractérisation de la borne inférieure, il existe $g \in H$ tel que $\alpha < g < 2\alpha$, puis, comme $\alpha < g$ et que $\alpha$ n'est pas atteint, $h \in H$ tel que $\alpha < h < g$. Alors $g - h \in H$ et $0 < g - h < g - \alpha < \alpha$, ce qui contredit la définition de $\alpha$. Ainsi $\alpha \in H$.

(b) Soit $x \in H$ et $k = \lfloor x/\alpha \rfloor$. Alors $0 \leqslant x - k\alpha < \alpha$, et $x - k\alpha \in H$, puisque $k\alpha \in H$. Si $x - k\alpha > 0$, cela contredit la définition de $\alpha$ ; donc $x = k\alpha$. Réciproquement, $\alpha\mathbb{Z} \subset H$. $$\boxed{\alpha > 0 \implies H = \alpha\mathbb{Z}}$$

3. Si $\alpha = 0$, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $g \in H$ tel que $0 < g < \varepsilon$. Soit $]u, v[$ un intervalle ouvert non vide, et $g \in H$ tel que $0 < g < v - u$. Avec $k = \lfloor u/g \rfloor + 1$, on a $u < kg \leqslant u + g < v$, et $kg \in H$. $$\boxed{\alpha = 0 \implies H \text{ est dense dans } \mathbb{R}}$$

4. L'ensemble $a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z}$ contient $0$ et la différence de deux de ses éléments : c'est un sous-groupe de $\mathbb{R}$, non réduit à $\{0\}$. S'il n'est pas dense, il est de la forme $\alpha\mathbb{Z}$ avec $\alpha > 0$, par les questions 2 et 3 ; alors $a = m\alpha$ et $b = n\alpha$, avec $n \neq 0$, et $\frac{a}{b} = \frac{m}{n}$ est rationnel. Réciproquement, si $\frac{a}{b} = \frac{p}{q}$ avec $q \in \mathbb{N}^{*}$, alors $a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z} \subset \frac{b}{q}\mathbb{Z}$, qui ne rencontre pas $\big]0\,,\frac{|b|}{q}\big[$. $$\boxed{a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z} \text{ dense} \iff \frac{a}{b} \notin \mathbb{Q}}$$

5. Le rapport $\frac{1}{2\pi}$ est irrationnel, donc $\mathbb{Z} + 2\pi\mathbb{Z}$ est dense. Soit $y \in [-1\,,1]$, $\theta = \operatorname{Arccos} y$ et $\varepsilon > 0$. Il existe $n$ et $m$ entiers tels que $|n + 2\pi m - \theta| < \varepsilon$, et, comme $\cos$ est $1$-lipschitzienne (chapitre 9), $$|\cos |n| - y| = |\cos(n + 2\pi m) - \cos\theta| \leqslant |n + 2\pi m - \theta| < \varepsilon,$$ où l'on a utilisé la parité et la $2\pi$-périodicité du cosinus. $$\boxed{\{\cos n \mid n \in \mathbb{N}\} \text{ est dense dans } [-1\,,1]}$$ À retenir. Un sous-groupe de $\mathbb{R}$ est « discret » ou dense, sans intermédiaire. Cette dichotomie explique l'exercice 21 : la somme de deux fonctions périodiques est périodique si et seulement si le groupe engendré par leurs périodes est discret.