Exercice 54

Pour $x \in G$, on note $\langle x \rangle = \{x^{k} \mid k \in \mathbb{Z}\}$ le sous-groupe engendré par $x$ (exercice 20). On a $G = \bigcup_{x \in G} \langle x \rangle$, et cette réunion ne fait intervenir qu'un nombre fini de sous-groupes distincts. Il suffit donc de montrer que chacun est fini.

$\triangleright$ Les puissances de $x$ ne sont pas toutes distinctes. Sinon, les sous-groupes $\langle x^{m} \rangle$, pour $m \geqslant 1$, seraient deux à deux distincts. En effet, si $1 \leqslant m < m'$ et $\langle x^{m} \rangle = \langle x^{m'} \rangle$, alors $x^{m} = x^{m'k}$ pour un entier $k$, avec $m'k \neq m$, puisque $m$ n'est pas multiple de $m' > m$ ; cela contredit l'hypothèse que les puissances sont distinctes. Le groupe aurait alors une infinité de sous-groupes.

$\triangleright$ Conclusion. Il existe donc $i < j$ tels que $x^{i} = x^{j}$, et comme à l'exercice 31, $\langle x \rangle = \{e, x, \dots, x^{p-1}\}$, où $p$ est l'ordre de $x$ : chaque $\langle x \rangle$ est fini. Une réunion finie d'ensembles finis est finie (chapitre 2). $$\boxed{G \text{ est fini}}$$ À retenir. Le seul obstacle était un élément dont toutes les puissances sont distinctes : il engendre une copie de $(\mathbb{Z}, +)$, qui possède les sous-groupes $m\mathbb{Z}$ en nombre infini.