Exercice 55

1. Soit $g \in G$, et $gB^{-1} = \{gb^{-1} \mid b \in B\}$. L'application $b \mapsto gb^{-1}$ est injective, donc $gB^{-1}$ a $|B|$ éléments. Les parties $A$ et $gB^{-1}$ de $G$ vérifient $|A| + |gB^{-1}| > |G|$ : elles ne sont pas disjointes, sinon leur réunion aurait plus d'éléments que $G$ (chapitre 2, lemme 4). Il existe donc $a \in A$ et $b \in B$ tels que $a = gb^{-1}$, soit $g = ab$. $$\boxed{G = AB}$$

2. Dans $G = \mathbb{U}_{2} = \{1, -1\}$, avec $A = B = \{1\}$, on a $|A| + |B| = 2 = |G|$, mais $AB = \{1\} \neq G$. Plus généralement, si $H$ est un sous-groupe de $G$ à $\frac{|G|}{2}$ éléments, $A = B = H$ donne $AB = H \neq G$.