Exercice 56

On note $n = |G|$, $z = |Z(G)|$, et, pour $x \in G$, $C(x) = \{y \in G \mid xy = yx\}$, qui est un sous-groupe contenant $Z(G)$ et $x$, par le même calcul qu'à l'exercice 14.

1. Comme $G$ n'est pas abélien, il existe $x \notin Z(G)$. Alors $C(x) \neq G$, puisque $x$ ne commute pas avec tout, et $C(x) \neq Z(G)$, puisque $x \in C(x)$. Par le théorème de Lagrange, appliqué à $Z(G) \subset C(x)$ puis à $C(x) \subset G$, $z$ divise $|C(x)|$ et $|C(x)|$ divise $n$, les inclusions étant strictes : $|C(x)| \geqslant 2z$ et $|C(x)| \leqslant \frac{n}{2}$. $$\boxed{n \geqslant 4z}$$

2. Le nombre de couples qui commutent est $\sum_{x \in G} |C(x)|$. Pour $x \in Z(G)$, $|C(x)| = n$ ; pour $x \notin Z(G)$, $|C(x)| \leqslant \frac{n}{2}$. Ainsi $$\sum_{x \in G} |C(x)| \leqslant zn + (n - z)\frac{n}{2} = \frac{n^{2}}{2} + \frac{zn}{2} \leqslant \frac{n^{2}}{2} + \frac{n^{2}}{8} = \frac{5n^{2}}{8}.$$

$$\boxed{\frac{\big|\{(x, y) \in G^{2} \mid xy = yx\}\big|}{|G|^{2}} \leqslant \frac{5}{8}}$$ Pour $\mathfrak{S}_{3}$, on trouve $6 + 3 \times 2 + 2 \times 3 = 18$ couples, soit une proportion $\frac{18}{36} = \frac{1}{2}$. La borne est atteinte par le groupe des huit isométries du carré, dont le centre a deux éléments.