Exercice 57

1. La relation est définie par une égalité d'ensembles : elle est réflexive, symétrique et transitive. Pour $h \in H$, $hHh^{-1} = H$, puisque $H$ est un sous-groupe, d'où $$(xh)H(xh)^{-1} = x\,(hHh^{-1})\,x^{-1} = xHx^{-1} :$$ $x \sim xh$. Chaque classe de $\sim$ est donc une réunion de classes $xH$ de l'exercice 31, et il y a au plus autant de classes de $\sim$ que de classes $xH$, c'est-à-dire $\frac{|G|}{|H|}$. $$\boxed{\text{nombre de classes} \leqslant \frac{|G|}{|H|}}$$

2. La réunion des $xHx^{-1}$ ne dépend que de la classe de $x$ : c'est une réunion d'au plus $k = \frac{|G|}{|H|}$ ensembles. Chacun a $|H|$ éléments, l'application $h \mapsto xhx^{-1}$ étant injective, et tous contiennent $e$. Ainsi $$\Big|\bigcup_{x \in G} xHx^{-1}\Big| \leqslant k(|H| - 1) + 1 = |G| - k + 1 < |G|,$$ puisque $k \geqslant 2$, $H$ étant strict. $$\boxed{\bigcup_{x \in G} xHx^{-1} \neq G}$$