Exercice 58

Fixons $x \in A$, et posons $S = \{y \in A \mid xy = yx\}$ et $T = \{y \in A \mid xy = -yx\}$. Ce sont deux sous-groupes de $(A, +)$, qui contiennent $0$ et sont stables par différence, par distributivité. L'hypothèse dit que $A = S \cup T$. Par l'exercice 18, question 2, $S = A$ ou $T = A$.

Si $T = A$, alors $y = 1$ donne $x = -x$, donc $x + x = 0$ ; pour tout $y$, $y(x + x) = 0$, soit $yx = -yx$, et $xy = -yx = yx$. Dans les deux cas, $x$ commute avec tout élément de $A$. $$\boxed{A \text{ est commutatif}}$$ À retenir. Le résultat de groupes « un groupe n'est pas réunion de deux sous-groupes stricts » transforme une alternative, valable pour chaque couple, en une propriété uniforme.