Exercice 59

Supposons qu'il existe un isomorphisme $f : (\mathbb{K}, +) \to (\mathbb{K}^{*}, \cdot)$.

$\triangleright$ Si $1 \neq -1$. L'élément $-1$ de $\mathbb{K}^{*}$ vérifie $(-1)^{2} = 1$ et $-1 \neq 1$. Son antécédent $a$ est non nul et vérifie $f(a + a) = (-1)^{2} = 1 = f(0)$, donc $a + a = 0$ par injectivité. Alors $(1 + 1)a = 0$ avec $a \neq 0$, d'où $1 + 1 = 0$, soit $1 = -1$ : contradiction.

$\triangleright$ Si $1 = -1$. Alors $x + x = 0$ pour tout $x$, donc tout $y = f(x)$ de $\mathbb{K}^{*}$ vérifie $y^{2} = f(x + x) = 1$. Ainsi $(y - 1)^{2} = y^{2} - 2y + 1 = y^{2} + 1 = 0$, et $y = 1$. Le groupe $\mathbb{K}^{*}$ serait réduit à $\{1\}$, donc $\mathbb{K} = \{0, 1\}$ aurait deux éléments, et $f$ ne pourrait pas être une bijection. $$\boxed{(\mathbb{K}, +) \text{ et } (\mathbb{K}^{*}, \cdot) \text{ ne sont jamais isomorphes}}$$ On retrouve, pour $\mathbb{K} = \mathbb{R}$, la question (a) de l'exercice 27, et le corps à deux éléments de l'exercice 43 montre que les corps où $1 = -1$ existent bien : le second cas n'est pas vide, il faut le traiter à part.