Exercice 7

On note $u = 1_{\ast}$ et $v = 1_{\otimes}$.

1. Avec $a = v$, $b = u$, $c = u$, $d = v$, l'hypothèse donne $(v \otimes u) \ast (u \otimes v) = (v \ast u) \otimes (u \ast v)$. Le membre de gauche vaut $u \ast u = u$, puisque $v$ est neutre pour $\otimes$ ; celui de droite vaut $v \otimes v = v$, puisque $u$ est neutre pour $\ast$. $$\boxed{1_{\ast} = 1_{\otimes}}$$

2. On note $1$ ce neutre commun. Avec $b = c = 1$, l'hypothèse donne $(a \otimes 1) \ast (1 \otimes d) = (a \ast 1) \otimes (1 \ast d)$, soit $a \ast d = a \otimes d$ : les deux lois sont égales. Avec $a = d = 1$, elle donne $b \ast c = (1 \ast c) \otimes (b \ast 1) = c \otimes b = c \ast b$ : la loi est commutative. Avec $b = 1$, elle donne $a \ast (c \ast d) = (a \ast c) \ast d$, en utilisant l'égalité des lois : la loi est associative. $$\boxed{\ast = \otimes, \text{ loi commutative et associative}}$$

3. Pour l'addition, l'hypothèse s'écrit $(a + b) + (c + d) = (a + c) + (b + d)$, qui est vraie. Avec l'addition pour $\ast$ et la multiplication pour $\otimes$, la question 1 imposerait $0 = 1$ : l'hypothèse est fausse, et en effet $(1 \times 1) + (1 \times 1) = 2 \neq 4 = (1 + 1) \times (1 + 1)$.

À retenir. L'argument d'Eckmann et Hilton (1962) sert en topologie, pour montrer que certains groupes construits à partir de lacets sont abéliens : deux structures compatibles au sens de l'hypothèse sont forcément identiques et commutatives.