Exercice 8

(a) Oui. La bijection $a \mapsto a + 1$ vérifie $(a \star b) + 1 = (a + 1) + (b + 1)$ : elle transporte $\star$ sur l'addition. Le neutre est $-1$, et le symétrique de $a$ est $-a - 2$. Le groupe est abélien.

(b) Non : $(8 \div 4) \div 2 = 1$, alors que $8 \div (4 \div 2) = 4$. La division n'est pas associative.

(c) Oui, groupe abélien de neutre la fonction nulle : chaque propriété se vérifie point par point.

(d) Non : $x \mapsto x^{3}$ et $x \mapsto -x$ sont monotones, mais leur somme $x \mapsto x^{3} - x$ ne l'est pas, puisqu'elle s'annule en $-1$, $0$ et $1$. L'ensemble n'est pas stable.

(e) Non : $0$ n'est pas inversible.

(f) Oui, groupe abélien : c'est $\mathbb{U}_{2}$.

(g) Non : $1 \notin 2\mathbb{Z}$, et il n'y a pas de neutre, puisque $2e = 2$ impose $e = 1$.

(h) Non, si $E \neq \varnothing$ : le neutre est $\varnothing$, et $E \cup B = \varnothing$ est impossible. $$\boxed{\text{groupes : (a), (c), (f), tous abéliens}}$$