Exercice 9

1. On développe : $$(1 - x)(1 - y) = 1 - x - y + xy = 1 - x \star y. \qquad \boxed{1 - x \star y = (1 - x)(1 - y)}$$ Si $x \neq 1$ et $y \neq 1$, le produit est non nul, donc $x \star y \neq 1$ : la loi est interne sur $G$.

2. L'application $\varphi$ est bijective de $G$ sur $\mathbb{R}^{*}$, de réciproque $t \mapsto 1 - t$, et la question 1 s'écrit $\varphi(x \star y) = \varphi(x)\varphi(y)$.

3. Par la question 1 de l'exercice 11, la loi transportée de $(\mathbb{R}^{*}, \times)$ par $\varphi^{-1}$ est un groupe abélien, et c'est $\star$. Le neutre est $\varphi^{-1}(1) = 0$, et le symétrique de $x$ est $\varphi^{-1}\big(\frac{1}{1 - x}\big) = 1 - \frac{1}{1 - x} = \frac{x}{x - 1}$. $$\boxed{\text{neutre } 0, \qquad x^{-1} = \frac{x}{x - 1}}$$ Vérification : $x \star \frac{x}{x - 1} = x + \frac{x}{x - 1} - \frac{x^{2}}{x - 1} = x + \frac{x(1 - x)}{x - 1} = 0$. ✓