Exercice 10

1. Pour tout réel $t$, $$f_{x,y}\big(f_{x',y'}(t)\big) = x(x't + y') + y = xx'\,t + (xy' + y). \qquad \boxed{f_{x,y} \circ f_{x',y'} = f_{(x,y) \star (x',y')}}$$

2. L'application $F : (x, y) \mapsto f_{x,y}$ est une bijection de $G$ sur l'ensemble $\mathcal{A}$ des bijections affines, puisqu'une fonction affine détermine ses coefficients. D'après la question 1, $\mathcal{A}$ est stable par composition ; il contient $\mathrm{id}_{\mathbb{R}} = f_{1,0}$, et la réciproque de $f_{x,y}$ est $f_{1/x, -y/x}$. C'est donc un sous-groupe de $\mathfrak{S}_{\mathbb{R}}$ (proposition 7). La loi $\star$ est la loi transportée par $F^{-1}$ (exercice 11), donc $(G, \star)$ est un groupe isomorphe à $\mathcal{A}$. $$\boxed{\text{neutre } (1, 0), \qquad (x, y)^{-1} = \Big(\frac{1}{x}, -\frac{y}{x}\Big)}$$ Le groupe n'est pas abélien : $(2, 0) \star (1, 1) = (2, 2)$ et $(1, 1) \star (2, 0) = (2, 1)$.

3. Par récurrence, $(x, y)^{n} = \big(x^{n}, y(1 + x + \cdots + x^{n-1})\big)$, puisque $(x, y)^{n+1} = (x, y) \star (x, y)^{n}$ ajoute $x \cdot y(1 + \cdots + x^{n-1})$ à $y$. La somme géométrique donne $$\boxed{(x, y)^{n} = \Big(x^{n}, \ y\,\frac{x^{n} - 1}{x - 1}\Big) \text{ si } x \neq 1, \qquad (1, y)^{n} = (1, ny)}$$ C'est la $n$-ième itérée de $t \mapsto xt + y$, que le chapitre 7 a rencontrée avec les suites arithmético-géométriques.