Exercice 11

1. Par construction, $f(a \ast b) = f(a) \star f(b)$ pour tous $a$, $b$ de $G$. On vérifie les axiomes en se ramenant à $G$ : pour $x$, $y$, $z$ dans $E$, avec $a = f^{-1}(x)$, $b = f^{-1}(y)$, $c = f^{-1}(z)$, $$(x \star y) \star z = f\big((a \ast b) \ast c\big) = f\big(a \ast (b \ast c)\big) = x \star (y \star z).$$ De même, $f(e)$ est neutre, et l'inverse de $x$ est $f(a^{-1})$. Ainsi $(E, \star)$ est un groupe, et $f$, bijectif et compatible avec les lois, est un isomorphisme.

2. On écrit $\operatorname{th} = \frac{\operatorname{sh}}{\operatorname{ch}}$ et l'on utilise les formules d'addition du chapitre 5 : $$\operatorname{th}(a + b) = \frac{\operatorname{sh} a \operatorname{ch} b + \operatorname{ch} a \operatorname{sh} b}{\operatorname{ch} a \operatorname{ch} b + \operatorname{sh} a \operatorname{sh} b} = \frac{\operatorname{th} a + \operatorname{th} b}{1 + \operatorname{th} a\,\operatorname{th} b},$$ en divisant numérateur et dénominateur par $\operatorname{ch} a \operatorname{ch} b > 0$.

3. La fonction $\operatorname{th}$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $]-1\,,1[$ (chapitre 5), et la question 2 dit que la loi transportée de $(\mathbb{R}, +)$ par $\operatorname{th}$ est $\star$. Par la question 1, $$\boxed{(]-1\,,1[, \star) \text{ est un groupe abélien isomorphe à } (\mathbb{R}, +), \text{ par } \operatorname{th}}$$ Le neutre est $\operatorname{th} 0 = 0$, et le symétrique de $x$ est $-x$. Une vérification directe de l'associativité serait pénible ; le transport de structure la rend gratuite.