Exercice 6

Soit $a$ et $b$ dans $A$, et $y$, $z$ dans $E$. On utilise trois fois la définition de $A$, pour $a$ puis pour $b$ : $$(a \star b) \star (y \star z) = a \star \big(b \star (y \star z)\big) = a \star \big((b \star y) \star z\big) = \big(a \star (b \star y)\big) \star z = \big((a \star b) \star y\big) \star z.$$ La première et la troisième égalité utilisent $a \in A$, la deuxième $b \in A$, la dernière à nouveau $a \in A$. Ainsi $a \star b \in A$. $$\boxed{A \text{ est stable par } \star}$$ La loi induite est associative, puisque l'égalité qui définit $A$ vaut en particulier pour $y$ et $z$ dans $A$. Pour la soustraction sur $\mathbb{Z}$, $x - (y - z) = (x - y) - z$ équivaut à $z = -z$, ce qui est faux pour $z = 1$, quel que soit $x$. $$\boxed{\text{pour la soustraction sur } \mathbb{Z}, \ A = \varnothing}$$