Exercice 5

1. La table est symétrique par rapport à sa diagonale, donc la loi est commutative ; la ligne et la colonne de $e$ reproduisent les en-têtes, donc $e$ est neutre. Chaque ligne et chaque colonne contient les six éléments. En particulier, $e$ apparaît une fois dans chaque ligne : chaque élément $x$ a un unique $y$ tel que $x \star y = e$, et $y \star x = e$ par commutativité. $$\boxed{a^{-1} = a, \qquad b^{-1} = d, \qquad c^{-1} = f}$$

2. On lit sur la table $b \star b = d$ et $b \star d = e$, d'où $$(b \star b) \star d = d \star d = c \qquad\text{et}\qquad b \star (b \star d) = b \star e = b.$$

3. La remarque du cours dit que la table d'un groupe fini a la propriété de la question 1. Cet exemple montre que la réciproque est fausse : une table où chaque élément apparaît une fois par ligne et par colonne, avec un neutre, peut ne pas être associative. À retenir : l'associativité ne se lit pas sur l'aspect de la table, elle se vérifie, ou s'hérite d'un groupe connu (méthode de la section 11.3).