Exercice 4

1. Supposons $f$ injective. Si $f \circ g = f \circ h$, alors $f(g(x)) = f(h(x))$ pour tout $x$, donc $g(x) = h(x)$ : $g = h$. Réciproquement, supposons $f$ simplifiable à gauche, et soit $x$, $y$ tels que $f(x) = f(y)$. Les applications constantes $g$ et $h$, de valeurs $x$ et $y$, vérifient $f \circ g = f \circ h$, donc $g = h$ et $x = y$. $$\boxed{f \text{ simplifiable à gauche} \iff f \text{ injective}}$$

2. Supposons $f$ surjective et $g \circ f = h \circ f$. Tout $y \in E$ s'écrit $y = f(x)$, d'où $g(y) = h(y)$. Réciproquement, si $f$ n'est pas surjective, soit $y_{0}$ hors de l'image de $f$, et $z_{1} \neq z_{2}$ deux éléments de $E$. Les applications $g$ et $h$ égales à l'identité sauf en $y_{0}$, où $g(y_{0}) = z_{1}$ et $h(y_{0}) = z_{2}$, sont distinctes, mais $g \circ f = h \circ f$, puisque $f$ ne prend jamais la valeur $y_{0}$. $$\boxed{f \text{ simplifiable à droite} \iff f \text{ surjective}}$$

3. Si $E$ est fini, une application de $E$ dans $E$ est injective si et seulement si elle est surjective (chapitre 2, théorème 2), d'où le résultat. Sur $\mathbb{N}$, le décalage $d$ de l'exercice 3 est injectif sans être surjectif : il est simplifiable à gauche mais pas à droite. $$\boxed{\text{vrai si } E \text{ est fini, faux pour } E = \mathbb{N}}$$