Exercice 15

(a) Les entiers pairs forment le sous-groupe $2\mathbb{Z}$. Les impairs n'en forment pas un, puisque $0$ n'est pas impair.

(b) Non : $0 - 2 = -2 \notin [-1\,,+\infty[$.

(c) Oui : $1 \in \mathbb{Q}^{*}$, et $\frac{x}{y} \in \mathbb{Q}^{*}$ si $x$ et $y$ sont des rationnels non nuls.

(d) Non : $\frac{1}{2}$ appartient à $H$, mais pas son inverse $2$.

(e) Oui : $\mathrm{id}(a) = a$, et si $f(a) = g(a) = a$, alors $g^{-1}(a) = a$ et $(f \circ g^{-1})(a) = a$.

(f) Non : $\mathrm{id} \notin H$, puisque $\mathrm{id}(a) = a \neq b$.

(g) Oui : $(0, 0) \in H$ et $(k, k) - (\ell, \ell) = (k - \ell, k - \ell)$. Ce n'est pas un produit : si $H = H_{1} \times H_{2}$, alors $(1, 1) \in H$ donne $1 \in H_{1}$ et $0 \in H_{2}$, puis $(1, 0) \in H$, ce qui est faux. $$\boxed{\text{sous-groupes : } 2\mathbb{Z}, \ \mathbb{Q}^{*}, \ \text{(e) et (g)}}$$ À retenir. La partie (g), la « diagonale », montre qu'un sous-groupe d'un groupe produit n'est pas toujours un produit de sous-groupes.