Exercice 14

1. Le neutre commute avec tout, donc $e \in Z(G)$. Si $x$ et $y$ sont dans $Z(G)$ et $a \in G$, alors $ay = ya$ donne $y^{-1}a = ay^{-1}$, en multipliant à gauche et à droite par $y^{-1}$ ; puis $$a(xy^{-1}) = xay^{-1} = xy^{-1}a,$$ donc $xy^{-1} \in Z(G)$ (proposition 7). Deux éléments de $Z(G)$ commutent, puisque chacun commute avec tout élément de $G$. Enfin $Z(G) = G$ signifie exactement que tous les éléments commutent deux à deux. $$\boxed{Z(G) \text{ est un sous-groupe abélien}, \quad Z(G) = G \iff G \text{ abélien}}$$

2. Soit $\sigma \in \mathfrak{S}_{3}$ distinct de l'identité, et $a$ tel que $\sigma(a) = b \neq a$. Soit $c$ le troisième élément de $\{1, 2, 3\}$, et $\tau$ l'échange de $b$ et $c$, qui fixe $a$. Alors $(\sigma \circ \tau)(a) = \sigma(a) = b$, et $(\tau \circ \sigma)(a) = \tau(b) = c \neq b$. Ainsi $\sigma \notin Z(\mathfrak{S}_{3})$. $$\boxed{Z(\mathfrak{S}_{3}) = \{\mathrm{id}\}}$$