Exercice 13

1. Pour $k = 0$, les deux membres valent $e$. Si l'égalité est vraie au rang $k$, alors $$(xyx^{-1})^{k+1} = (xy^{k}x^{-1})(xyx^{-1}) = xy^{k}(x^{-1}x)yx^{-1} = xy^{k+1}x^{-1}.$$ En d'autres termes, $\tau_{x} : g \mapsto xgx^{-1}$ est un morphisme (exercice 26), et la proposition 10 s'applique.

2. On applique $\tau_{x}$ à l'égalité $xyx^{-1} = y^{2}$, puis la question 1 : $$x^{2}yx^{-2} = x\,(xyx^{-1})\,x^{-1} = xy^{2}x^{-1} = (xyx^{-1})^{2} = y^{4}.$$ Une troisième fois, $x^{3}yx^{-3} = xy^{4}x^{-1} = (y^{2})^{4} = y^{8}$. Comme $x^{3} = e$, le membre de gauche vaut $y$, d'où $y = y^{8}$. $$\boxed{x^{2}yx^{-2} = y^{4}, \qquad y^{7} = e}$$

3. Si de plus $y^{5} = e$, alors $y = y^{15} \cdot y^{-14} = (y^{5})^{3}\,\big((y^{7})^{2}\big)^{-1} = e$. $$\boxed{y = e}$$ À retenir. On a combiné $y^{7} = e$ et $y^{5} = e$ grâce à la relation $15 - 14 = 1$, c'est-à-dire $3 \times 5 - 2 \times 7 = 1$. Le chapitre 12 appellera cela une relation de Bézout.