Exercice 16

1. L'ensemble $\mathbb{U}_{\infty}$ contient $1$. Si $z^{n} = 1$ et $w^{m} = 1$, alors $\big(\frac{z}{w}\big)^{nm} = \frac{(z^{n})^{m}}{(w^{m})^{n}} = 1$, donc $\frac{z}{w} \in \mathbb{U}_{\infty}$. C'est un sous-groupe de $\mathbb{C}^{*}$, contenu dans $\mathbb{U}$. Il n'est pas égal à $\mathbb{U}$ : si $\big(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\sqrt{2}}\big)^{n} = 1$ avec $n \geqslant 1$, alors $n\pi\sqrt{2} \in 2\pi\mathbb{Z}$ (chapitre 4), donc $\sqrt{2} = \frac{2k}{n}$ serait rationnel. $$\boxed{\mathbb{U}_{\infty} \text{ est un sous-groupe de } \mathbb{C}^{*}, \text{ strictement contenu dans } \mathbb{U}}$$

2. Le corps $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ du cours a pour groupe des inversibles $\mathbb{Q}[\sqrt{2}] \setminus \{0\}$ (proposition 14), et ce groupe est contenu dans $\mathbb{R}^{*}$ avec la même loi : c'est un sous-groupe de $(\mathbb{R}^{*}, \times)$. Directement : $1$ y appartient, et le cours a montré que l'inverse d'un élément non nul y appartient, ainsi que le produit de deux éléments.