Exercice 17

1. Si $x^{2} - 3y^{2} = 1$, alors $x^{2} = 1 + 3y^{2} > 3y^{2}$, donc $x > |y|\sqrt{3}$, puisque $x \geqslant 0$. Ainsi $$x + y\sqrt{3} \geqslant x - |y|\sqrt{3} > 0.$$

2. Comme $\sqrt{3}$ est irrationnel, l'écriture $x + y\sqrt{3}$ est unique, et l'on peut parler de $x$ et de $y$ pour un élément de $H$. L'élément $1 = 1 + 0\sqrt{3}$ est dans $H$. Pour $u = x + y\sqrt{3}$ et $u' = x' + y'\sqrt{3}$ dans $H$, on a $$uu' = (xx' + 3yy') + (xy' + x'y)\sqrt{3}, \qquad (xx' + 3yy')^{2} - 3(xy' + x'y)^{2} = (x^{2} - 3y^{2})(x'^{2} - 3y'^{2}) = 1.$$ De plus $xx' > 3|yy'|$ par la question 1, donc $xx' + 3yy' \in \mathbb{N}$ : $uu' \in H$. Enfin $(x + y\sqrt{3})(x - y\sqrt{3}) = 1$, donc $u^{-1} = x + (-y)\sqrt{3} \in H$. $$\boxed{H \text{ est un sous-groupe de } (\mathbb{R}_{+}^{*}, \times)}$$

3. On a $2^{2} - 3 \times 1^{2} = 1$. Les puissances $(2 + \sqrt{3})^{n}$, pour $n \in \mathbb{N}$, sont dans $H$ et deux à deux distinctes, puisque $2 + \sqrt{3} > 1$. On calcule les premières : $$\boxed{(2, 1), \qquad (2 + \sqrt{3})^{2} = 7 + 4\sqrt{3}, \qquad (2 + \sqrt{3})^{3} = 26 + 15\sqrt{3}}$$ et $7^{2} - 3 \times 4^{2} = 1$, $26^{2} - 3 \times 15^{2} = 676 - 675 = 1$. ✓ C'est l'équation de Pell-Fermat ; on peut montrer que $H$ est exactement l'ensemble des $(2 + \sqrt{3})^{n}$, $n \in \mathbb{Z}$.