Exercice 18

1. Si $H \subset K$, alors $H \cup K = K$ est un sous-groupe, de même si $K \subset H$. Réciproquement, supposons que $H \cup K$ soit un sous-groupe, et que $H \not\subset K$ et $K \not\subset H$. Soit $h \in H \setminus K$ et $k \in K \setminus H$. Le produit $hk$ est dans $H \cup K$. S'il est dans $H$, alors $k = h^{-1}(hk) \in H$, ce qui est exclu ; s'il est dans $K$, alors $h = (hk)k^{-1} \in K$, exclu aussi. C'est absurde. $$\boxed{H \cup K \text{ sous-groupe} \iff H \subset K \text{ ou } K \subset H}$$

2. Si $G = H \cup K$, alors $H \cup K$ est un sous-groupe, donc $G = K$ ou $G = H$ par la question 1.

3. Les trois parties $\{\varnothing, \{1\}\}$, $\{\varnothing, \{2\}\}$ et $\{\varnothing, \{1, 2\}\}$ sont des sous-groupes, puisque chaque partie est son propre inverse ; ils sont distincts de $\mathcal{P}(\{1, 2\})$, et leur réunion est $\mathcal{P}(\{1, 2\})$. $$\boxed{\mathcal{P}(\{1, 2\}) = \{\varnothing, \{1\}\} \cup \{\varnothing, \{2\}\} \cup \{\varnothing, \{1, 2\}\}}$$ Piège. La question 2 ne s'étend pas à trois sous-groupes, comme le montre cet exemple : l'argument de la question 1 utilise qu'il n'y a que deux sous-groupes en jeu.