Exercice 19

1. Soit $U$ la réunion. Elle contient $e \in H_{0}$. Si $x \in H_{n}$ et $y \in H_{m}$, avec par exemple $n \leqslant m$, alors $x$ et $y$ sont dans $H_{m}$, qui est un sous-groupe, donc $xy^{-1} \in H_{m} \subset U$. $$\boxed{\bigcup_{n \in \mathbb{N}} H_{n} \text{ est un sous-groupe de } G}$$ C'est la croissance qui permet de ramener deux éléments dans un même $H_{m}$ ; l'exercice 18 montre que la réunion de deux sous-groupes quelconques n'est pas un sous-groupe.

2. Comme $2^{n}$ divise $2^{n+1}$, la proposition 9 donne $\mathbb{U}_{2^{n}} \subset \mathbb{U}_{2^{n+1}}$. Le nombre $\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/3}$ appartient à $\mathbb{U}_{3}$, et s'il appartenait à $\mathbb{U}_{2^{n}}$, on aurait $\mathbb{U}_{3} \subset \mathbb{U}_{2^{n}}$, car $\mathbb{U}_{3}$ est formé de ses puissances, donc $3$ diviserait $2^{n}$ par la proposition 9, ce qui est faux. $$\boxed{\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/3} \notin \bigcup_{n} \mathbb{U}_{2^{n}}}$$