Exercice 20

1. L'ensemble des sous-groupes contenant $X$ est non vide, puisqu'il contient $G$. Leur intersection $\langle X \rangle$ est un sous-groupe (proposition 8), qui contient $X$. Si $H$ est un sous-groupe contenant $X$, il fait partie de la famille, donc $\langle X \rangle \subset H$.

2. Soit $P$ l'ensemble des produits décrits. Il contient $e$ (produit vide) et $X$ (produits d'un facteur, avec $\varepsilon = 1$). Il est stable par produit, en mettant bout à bout deux produits, et par inverse, puisque $$\big(x_{1}^{\varepsilon_{1}} \cdots x_{n}^{\varepsilon_{n}}\big)^{-1} = x_{n}^{-\varepsilon_{n}} \cdots x_{1}^{-\varepsilon_{1}}.$$ C'est donc un sous-groupe contenant $X$, et $\langle X \rangle \subset P$. Réciproquement, un sous-groupe qui contient $X$ contient les $x_{i}^{\pm 1}$ et leurs produits, donc $P \subset \langle X \rangle$. $$\boxed{\langle X \rangle = \{x_{1}^{\varepsilon_{1}} \cdots x_{n}^{\varepsilon_{n}} \mid n \in \mathbb{N}, \ x_{i} \in X, \ \varepsilon_{i} = \pm 1\}}$$

3. Dans $(\mathbb{Z}, +)$, les éléments de $\langle 4, 6 \rangle$ sont les $4m + 6n$, qui sont pairs ; inversement, il contient $6 - 4 = 2$, donc $2\mathbb{Z}$. Dans $\mathbb{C}^{*}$, $\langle \mathrm{i} \rangle = \{\mathrm{i}^{n} \mid n \in \mathbb{Z}\} = \{1, \mathrm{i}, -1, -\mathrm{i}\}$. Dans $\mathbb{Q}^{*}$, $\langle 2, 3 \rangle$ est formé des produits $2^{a}3^{b}$, avec $a$ et $b$ dans $\mathbb{Z}$, puisque les facteurs commutent. $$\boxed{\langle 4, 6 \rangle = 2\mathbb{Z}, \qquad \langle \mathrm{i} \rangle = \mathbb{U}_{4}, \qquad \langle 2, 3 \rangle = \{2^{a}3^{b} \mid (a, b) \in \mathbb{Z}^{2}\}}$$ Le chapitre 12 montrera que le sous-groupe de $\mathbb{Z}$ engendré par $a$ et $b$ est $d\mathbb{Z}$, où $d$ est le PGCD de $a$ et $b$ : ici $d = 2$.