Exercice 21

1. Le réel $0$ est une période. Si $T$ et $T'$ sont des périodes, alors, pour tout réel $x$, $$f(x + T - T') = f\big((x - T') + T\big) = f(x - T') = f\big((x - T') + T'\big) = f(x).$$ Ainsi $P(f)$ est un sous-groupe de $\mathbb{R}$. Pour $f = \mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$, un réel $T$ est une période si et seulement si $x + T$ et $x$ sont simultanément rationnels ou non, pour tout $x$ ; c'est le cas si $T \in \mathbb{Q}$, et pas sinon, en prenant $x = 0$. $$\boxed{P(\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}) = \mathbb{Q}}$$

2. La fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^{2}$, et le calcul donne $$f'' + \frac{\pi^{2}}{64}f = \Big(\frac{\pi^{2}}{64} - \frac{\pi^{2}}{144}\Big)\cos\frac{\pi x}{12} = \frac{5\pi^{2}}{576}\cos\frac{\pi x}{12}.$$ Si $T$ est une période de $f$, c'en est une de $f''$, donc de $x \mapsto \cos\frac{\pi x}{12}$ : $T \in 24\mathbb{Z}$. De même, $f'' + \frac{\pi^{2}}{144}f$ est un multiple non nul de $\sin\frac{\pi x}{8}$, donc $T \in 16\mathbb{Z}$. Si $T = 24k = 16m$, alors $3k = 2m$, donc $k$ est pair et $T \in 48\mathbb{Z}$ ; réciproquement, $48$ est une période. $$\boxed{P(f) = 48\mathbb{Z}}$$

3. De même, toute période de $g$ appartient à $2\pi\mathbb{Z}$ et à $\sqrt{2}\pi\mathbb{Z}$, les périodes de $\sin(\sqrt{2}\,x)$. Si $T = 2\pi k = \sqrt{2}\pi m$ avec $T \neq 0$, alors $\sqrt{2} = \frac{2k}{m}$ serait rationnel. $$\boxed{P(g) = \{0\} : g \text{ n'est pas périodique}}$$ La somme de deux fonctions périodiques n'est donc pas toujours périodique : il faut que les périodes aient un rapport rationnel. L'exercice 53 explique pourquoi : $2\pi\mathbb{Z} + \sqrt{2}\pi\mathbb{Z}$ est dense dans $\mathbb{R}$.