Exercice 22

Dans chaque cas, on identifie les deux groupes, puis on cherche les antécédents du neutre.

(a) Le logarithme est un morphisme de $(\mathbb{R}_{+}^{*}, \times)$ dans $(\mathbb{R}, +)$, de noyau $\{1\}$ et d'image $\mathbb{R}$ : c'est un isomorphisme (chapitre 5).

(b) Le module est un morphisme de $(\mathbb{C}^{*}, \times)$ dans $(\mathbb{R}_{+}^{*}, \times)$. Son noyau est $\mathbb{U}$ et son image $\mathbb{R}_{+}^{*}$, puisque $|r| = r$ pour $r > 0$ : il est surjectif, non injectif.

(c) La racine carrée est un morphisme de $(\mathbb{R}_{+}^{*}, \times)$ dans lui-même, de noyau $\{1\}$, bijectif de réciproque $x \mapsto x^{2}$ : c'est un automorphisme.

(d) La conjugaison est un morphisme de $(\mathbb{C}^{*}, \times)$ dans lui-même, de noyau $\{1\}$, et sa propre réciproque : c'est un automorphisme.

(e) L'application $t \mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{i} t}$ est un morphisme de $(\mathbb{R}, +)$ dans $(\mathbb{U}, \times)$, surjectif, de noyau $2\pi\mathbb{Z}$ (cours, exemple qui suit le théorème 2) : il n'est pas injectif.

(f) L'application $n \mapsto (-1)^{n}$ est un morphisme de $(\mathbb{Z}, +)$ dans $(\mathbb{U}_{2}, \times)$, surjectif, de noyau $2\mathbb{Z}$. $$\boxed{\text{isomorphismes : (a), (c), (d) ; \quad noyaux non triviaux : } \mathbb{U}, \ 2\pi\mathbb{Z}, \ 2\mathbb{Z}}$$