Exercice 23

L'application $x \mapsto x^{2}$ est un morphisme si et seulement si $(xy)^{2} = x^{2}y^{2}$ pour tous $x$ et $y$, c'est-à-dire, d'après la remarque qui suit la proposition 4, si et seulement si $xy = yx$ pour tous $x$, $y$. De même, $x \mapsto x^{-1}$ est un morphisme si et seulement si $(xy)^{-1} = x^{-1}y^{-1}$, soit $y^{-1}x^{-1} = x^{-1}y^{-1}$ pour tous $x$, $y$ ; en passant à l'inverse, c'est $xy = yx$. $$\boxed{x \mapsto x^{2} \text{ et } x \mapsto x^{-1} \text{ sont des morphismes si et seulement si } G \text{ est abélien}}$$ À retenir. Dans un groupe abélien, $x \mapsto x^{-1}$ est même un automorphisme, puisqu'il est sa propre réciproque.