Exercice 24

1. D'après le chapitre 4, $\mathrm{e}^{z + w} = \mathrm{e}^{z}\mathrm{e}^{w}$ et $\mathrm{e}^{z} \neq 0$ : $\exp$ est un morphisme de $(\mathbb{C}, +)$ dans $(\mathbb{C}^{*}, \times)$. Tout $a \in \mathbb{C}^{*}$ s'écrit $a = r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ avec $r > 0$, et $a = \mathrm{e}^{\ln r + \mathrm{i}\theta}$ : le morphisme est surjectif. Enfin $\mathrm{e}^{x + \mathrm{i} y} = 1$ si et seulement si $\mathrm{e}^{x} = 1$ et $\mathrm{e}^{\mathrm{i} y} = 1$, soit $x = 0$ et $y \in 2\pi\mathbb{Z}$. $$\boxed{\operatorname{Im} \exp = \mathbb{C}^{*}, \qquad \mathrm{Ker}\, \exp = 2\mathrm{i}\pi\mathbb{Z}}$$

2. D'après le point (i) du théorème 2, écrit en notation additive au départ, $\mathrm{e}^{z} = \mathrm{e}^{z_{0}}$ si et seulement si $z - z_{0} \in \mathrm{Ker}\, \exp$. Pour $a = -2 = 2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}$, on peut prendre $z_{0} = \ln 2 + \mathrm{i}\pi$. $$\boxed{\{z \in \mathbb{C} \mid \mathrm{e}^{z} = a\} = z_{0} + 2\mathrm{i}\pi\mathbb{Z}, \qquad \mathrm{e}^{z} = -2 \iff z \in \ln 2 + \mathrm{i}\pi + 2\mathrm{i}\pi\mathbb{Z}}$$