Exercice 1

1. L'application $\varphi_{1}$. Si $\varphi_{1}$ était bilinéaire, l'application $y \mapsto \varphi_{1}(x, y)$ serait linéaire, donc nulle en $y = 0$. Or, pour $x = (1, 0)$, $$\varphi_{1}\big((1, 0), (0, 0)\big) = \sqrt{1} = 1 \neq 0.$$

$$\boxed{\varphi_{1} \text{ n'est pas bilinéaire : ce n'est pas un produit scalaire}}$$ La racine carrée fait penser à une norme, mais un produit scalaire est une expression du second degré en $(x, y)$, du premier degré en chacune des variables.

L'application $\varphi_{2}$. Elle est de la forme ${X}^{T}SY$ avec $S = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ symétrique, donc bilinéaire et symétrique (section 19.2.3 du cours). Mais, pour $e_{2} = (0, 1)$, $$\boxed{\varphi_{2}(e_{2}, e_{2}) = -1 < 0 : \varphi_{2} \text{ n'est pas positive, ce n'est pas un produit scalaire}}$$

L'application $\varphi_{3}$. Elle s'écrit ${X}^{T}SY$ avec $S = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -3 & 10 \end{pmatrix}$ symétrique : elle est bilinéaire et symétrique. Pour la positivité, on met $\varphi_{3}(x, x)$ sous forme canonique, en regroupant les termes en $x_{1}$ : $$\varphi_{3}(x, x) = x_{1}^{2} - 6x_{1}x_{2} + 10x_{2}^{2} = (x_{1} - 3x_{2})^{2} + x_{2}^{2} \geqslant 0.$$ Si $\varphi_{3}(x, x) = 0$, les deux carrés sont nuls : $x_{2} = 0$, puis $x_{1} = 3x_{2} = 0$. $$\boxed{\varphi_{3} \text{ est un produit scalaire sur } \mathbb{R}^{2}}$$

2. L'application $\varphi$ s'écrit ${X}^{T}SY$ avec $S = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ b & a \end{pmatrix}$ : elle est bilinéaire quels que soient $a$ et $b$. Elle est symétrique si et seulement si $S$ l'est, c'est-à-dire si $\varphi(e_{1}, e_{2}) = \varphi(e_{2}, e_{1})$, soit $b = 4$. Supposons-le ; la forme canonique donne $$\varphi(x, x) = x_{1}^{2} + 8x_{1}x_{2} + ax_{2}^{2} = (x_{1} + 4x_{2})^{2} + (a - 16)x_{2}^{2}.$$ Si $a > 16$, cette quantité est positive, et nulle seulement si $x_{2} = 0$ et $x_{1} = -4x_{2} = 0$. Si $a \leqslant 16$, le vecteur non nul $x = (-4, 1)$ annule le premier carré et donne $\varphi(x, x) = a - 16 \leqslant 0$ : la forme n'est pas définie positive. $$\boxed{\varphi \text{ est un produit scalaire} \iff b = 4 \text{ et } a > 16}$$ Piège. L'erreur la plus répandue est d'oublier la symétrie et de ne regarder que $$\varphi(x, x) = x_{1}^{2} + (4 + b)x_{1}x_{2} + ax_{2}^{2}.$$ Pour $b = 0$ et $a = 5$, cette quantité vaut $(x_{1} + 2x_{2})^{2} + x_{2}^{2} > 0$ pour $x \neq 0$, et pourtant $\varphi$ n'est pas un produit scalaire, puisque $\varphi(e_{1}, e_{2}) = 4 \neq 0 = \varphi(e_{2}, e_{1})$. Comme le dit la remarque de la section 19.2.3, la quantité $\varphi(x, x)$ ne voit pas la partie antisymétrique de $S$.