Feuille d'exercicesMaths Sup – MPSI, chapitre 19

Espaces préhilbertiens réels

57 exercices corrigés · 15 27 11 4

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Produit scalaire

Exercice 1 1. Pour x = (x_1, x_2) et y = (y_1, y_2) dans ℝ^2, on considère les applications φ_1(x, y) = √(x_1^2 + y_1^2 + x_2^2 + y_2^2), φ_2(x, y) = 4x_1y_1 -…
Exercice 2 Dans chacun des cas suivants, montrer que la formule proposée définit un produit scalaire sur l'espace E indiqué. (a) E = C^1([-1,1], ℝ) et langle…
Exercice 3 Soit w: [0,1] → ℝ une fonction continue. Pour f, g ∈ C([0,1], ℝ), on pose langle f, g rangle _w = ∫_0^1 f(t)g(t)w(t) d t. Montrer que langle ·, ·…

Norme associée et inégalité de Cauchy-Schwarz

Exercice 4 1. Montrer que, pour tout n ≥ 1 et tous réels x_1, …, x_n, (Σ_(k = 1)^n (x_k)/(2^k))^2 ≤ 1/3 Σ_(k = 1)^n x_k^2. 2. Soit x, y, z trois réels tels que…
Exercice 5 1. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ, Σ_(k = 0)^n √{binom n{k}} ≤ 2^(n/2)√(n + 1). 2. Montrer que, pour toute matrice A ∈ M_n(ℝ), | tr A| ≤ √n lVert A…
Exercice 6 Soit E un espace préhilbertien réel, p ≥ 1 et x_1, …, x_p des vecteurs de E. Pour x ∈ E, on pose f(x) = Σ_(i = 1)^p lVert x - x_i rVert ^2 et l'on…
Exercice 7 Soit a < b et f: [a,b] → ℝ une fonction de classe C^1 telle que f(a) = 0. 1. Montrer que, pour tout t ∈ [a,b], f(t)^2 ≤ (t - a)∫_a^t f'(u)^2 d u. 2.…
Exercice 8 Montrer que la formule langle f, g rangle = ∫_0^1 f'(t)g'(t) d t + f(1)g(0) + f(0)g(1) définit un produit scalaire sur C^1([0,1], ℝ).
Exercice 9 Soit f: [0,1] → ℝ une fonction continue et positive. Pour tout k ∈ ℕ et tout n ∈ ℕ, on note s_k = ∫_0^1 t^kf(t) d t et H_n = (s_(i + j))_(0 ≤ i, j ≤…
Exercice 10 Des normes qui ne proviennent pas d'un produit scalaire. Soit E un ℝ -espace vectoriel. On appelle norme sur E toute application N: E → ℝ_(+) telle…
Exercice 11 Normes vérifiant l'identité du parallélogramme. Soit E un ℝ -espace vectoriel et N une norme sur E, au sens de l'exercice 10, telle que N(x + y)^2 +…

Orthogonalité et algorithme de Gram-Schmidt

Exercice 12 On se place dans ℝ^4, muni du produit scalaire canonique. 1. Soit F le sous-espace d'équations x - y + 2z + t = 0 et -x + 2y + 3z - t = 0.…
Exercice 13 Soit E un espace préhilbertien réel. 1. Soit x, y ∈ E. Montrer que x et y sont orthogonaux si et seulement si lVert x + λ y rVert ≥ lVert x rVert…
Exercice 14 1. Dans ℝ^3, on considère les vecteurs u = (1, 0, 1), v = (1, 1, 1) et w = (-1, -1, 0). Orthonormaliser la base (u, v, w) par l'algorithme de…
Exercice 15 Montrer que les formules suivantes définissent des produits scalaires, puis orthonormaliser la base canonique de l'espace considéré par l'algorithme…
Exercice 16 Polynômes de Tchebychev. On note T_n l'unique polynôme tel que T_n(cos θ) = cos (nθ) pour tout réel θ (exercice 53 de la feuille du chapitre 13). 1.…
Exercice 17 Familles obtusangles. Soit E un espace euclidien de dimension n ≥ 1, et (x_1, …, x_p) une famille de p ≥ 2 vecteurs de E telle que langle x_i, x_j…
Exercice 18 Polynômes de Legendre et équation différentielle. On munit ℝ[X] du produit scalaire défini par langle P, Q rangle = ∫_(-1)^1 P(t)Q(t) d t, et l'on…

Bases orthonormées

Exercice 19 Soit A = (a_ij) ∈ M_n(ℝ) une matrice telle que A^TA = I_n, c'est-à-dire dont les colonnes forment une base orthonormée de M_n,1(ℝ). 1. Montrer que…
Exercice 20 Soit E un espace préhilbertien réel et (e_1, …, e_n) une famille de vecteurs unitaires de E telle que lVert x rVert ^2 = Σ_(i = 1)^n langle x, e_i…
Exercice 21 Soit E un ℝ -espace vectoriel de dimension finie n ≥ 1. 1. Soit F = (f_1, …, f_p) une famille de vecteurs de E. Donner une condition nécessaire et…
Exercice 22 Soit E un espace euclidien. On note L(E, ℝ) l'espace des formes linéaires sur E. 1. Montrer que l'application Phi qui à a ∈ E associe la forme…
Exercice 23 Soit E un espace euclidien de dimension n ≥ 1 et (e_1, …, e_n) une base orthonormée de E. 1. Soit (f_1, …, f_n) une famille de vecteurs de E telle…
Exercice 24 Soit E un espace euclidien et u un endomorphisme de E. On suppose qu'il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est triangulaire…
Exercice 25 Soit E un ℝ -espace vectoriel de dimension finie n ≥ 1, x un vecteur non nul de E, et (λ_1, …, λ_n) un élément non nul de ℝ^n. 1. Montrer qu'il…
Exercice 26 Décomposition QR et inégalité de Hadamard. Soit A ∈ GL_n(ℝ), de colonnes C_1, …, C_n. On note B = (E_1, …, E_n) la base canonique de M_n,1(ℝ), et D…
Exercice 27 La matrice de Hilbert. Pour n ∈ ℕ, on note H_n = (1/(i + j + 1))_(0 ≤ i, j ≤ n) ∈ M_(n + 1)(ℝ). 1. Montrer que H_n est la matrice de Gram de la…

Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie

Exercice 28 On se place dans ℝ^3, muni du produit scalaire canonique. 1. Déterminer la distance du vecteur u = (3, 4, 3) au plan P d'équation 2x + y - z = 0. 2.…
Exercice 29 Dans ℝ^4, déterminer le projeté orthogonal du vecteur u = (1, 8, 1, 1) sur le sous-espace F d'équations x + y + t = 0 et x + y + 2z - t = 0, et la…
Exercice 30 Dans ℝ^4, on considère le sous-espace G d'équations x_1 + x_2 = 0 et x_3 + x_4 = 0. 1. Déterminer une base orthonormée de G. 2. Déterminer la…
Exercice 31 Soit n ≥ 1 et H = P ∈ ℝ_n[X] | ∫_0^1 P(t) d t = 0. 1. Montrer que H est un sous-espace de ℝ_n[X], et calculer sa dimension. 2. Justifier que ℝ_n[X]…
Exercice 32 On munit M_2(ℝ) du produit scalaire langle M, N rangle = tr(M^TN), et l'on considère F = begin pmatrix a & b -b & a end pmatrix | (a, b) ∈ ℝ^2 et J…
Exercice 33 Soit E un espace préhilbertien réel, et F, G deux sous-espaces de E. 1. Montrer que (F ∪ G)^perp = (F + G)^perp = F^perp ∩ G^perp. 2. Montrer que…
Exercice 34 On munit M_n(ℝ) du produit scalaire langle A, B rangle = tr(A^TB). 1. Soit M = (m_ij) ∈ M_n(ℝ). En notant s_ij le coefficient d'indice (i, j) d'une…
Exercice 35 Calculer les bornes inférieures suivantes, en précisant en quels points elles sont atteintes. (a) inf _(a, b) ∈ ℝ^2 ∫_0^1 (t - a√t - b)^2 d t (b)…
Exercice 36 Soit f: [0,1] → ℝ une fonction continue telle que ∫_0^1 f(x) d x = ∫_0^1 x f(x) d x = 1. Montrer que ∫_0^1 f(x)^2 d x ≥ 4, et déterminer les…
Exercice 37 On munit l'espace E = ℝ_3[X] du produit scalaire défini par langle A, B rangle = ∫_0^1 AB, et l'on considère le polynôme Q = 1 + X + X^2 + X^3. 1.…
Exercice 38 Soit n ≥ 1 et a_0, …, a_n des réels. 1. À quelle condition sur a_0, …, a_n la formule suivante définit-elle un produit scalaire sur ℝ_n[X] ? langle…
Exercice 39 On munit E = C([0,1], ℝ) du produit scalaire défini par langle f, g rangle = ∫_0^1 f(t)g(t) d t, et l'on pose F = f ∈ E mid f(0) = 0. 1. Montrer que…
Exercice 40 Pour tout n ∈ ℕ, on munit ℝ_n[X] du produit scalaire défini par langle P, Q rangle = ∫_0^1 PQ. 1. On suppose dans cette question n = 2. (a) Donner…
Exercice 41 Soit E un espace préhilbertien réel et p un projecteur de E. On dit que p est un projecteur orthogonal si Ker p et Im p sont orthogonaux. Montrer…
Exercice 42 Soit A ∈ M_n(ℝ), identifiée à l'endomorphisme X ↦ AX de M_n,1(ℝ). 1. On suppose que A^2 = A. Montrer que A est un projecteur orthogonal, au sens de…
Exercice 43 Soit E un espace euclidien de dimension n ≥ 1, (e_1, …, e_n) une base orthonormée de E et F un sous-espace de E. Calculer en fonction de la…
Exercice 44 Soit A ∈ M_n(ℝ). 1. Montrer que Ker (A^T) = (Im A)^perp. 2. Montrer que Ker (A^TA) = Ker A et que Im (A{A}^T) = Im A. 3. On suppose que Ker A = Im…
Exercice 45 Méthode des moindres carrés. Soit p ≤ n deux entiers, A ∈ M_n,p(ℝ) une matrice de rang p et B ∈ M_n,1(ℝ). 1. Montrer qu'il existe un unique X_0 ∈…
Exercice 46 Soit A_1, …, A_p des matrices de M_n(ℝ) telles que Σ_(k = 1)^p A_k = I_n et A_i^TA_j = 0 pour tous i ≠ j. 1. Montrer que chaque A_i est un…
Exercice 47 Déterminants de Gram. Soit E un espace préhilbertien réel. Pour une famille (u_1, …, u_p) de vecteurs de E, on note G(u_1, …, u_p) = det (langle…
Exercice 48 On note E = C^1([0,1], ℝ). 1. Montrer que la formule langle f, g rangle = ∫_0^1 (f(t)g(t) + f'(t)g'(t)) d t définit un produit scalaire sur E. 2. On…

Exercices de synthèse

Exercice 49 Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse par une démonstration ou un contre-exemple. Dans tout l'exercice, E désigne un espace préhilbertien réel. 1.…
Exercice 50 Une moyenne sur tous les choix de signes. Soit E un espace préhilbertien réel, u_1, …, u_n des vecteurs de E et C un réel tels que |Σ_(i = 1)^n…
Exercice 51 Le simplexe régulier et la molécule de méthane. Soit n ≥ 1 et e_1, …, e_(n + 1) des vecteurs unitaires de ℝ^n tels que langle e_i, e_j rangle = α…
Exercice 52 Une distance calculée par une fraction rationnelle. Soit n ≥ 1. Pour tout polynôme P ∈ ℝ_(n - 1)[X], on pose I(P) = ∫_0^1 (t^n - P(t))^2 d t. 1.…
Exercice 53 Les formules de quadrature de Gauss. Soit n ≥ 1. On munit ℝ[X] du produit scalaire défini par langle P, Q rangle = ∫_(-1)^1 PQ, et l'on note L_n le…
Exercice 54 Soit E un espace euclidien et x_1, …, x_p des vecteurs de E tels que langle x_i, x_j rangle = -1 pour tous i ≠ j. Montrer que Σ_(i = 1)^p (1 + lVert…
Exercice 55 Soit n ≥ 1. On munit M_n(ℝ) du produit scalaire langle A, B rangle = tr(A^TB), et l'on note R l'ensemble des matrices de rang 1 de M_n(ℝ). Montrer…
Exercice 56 Soit V un sous-espace de C([0,1], ℝ) et A > 0 un réel tels que sup _([0, 1]) |f| ≤ A (∫_0^1 f^2)^(1/2) pour toute f ∈ V. Montrer que V est de…
Exercice 57 Soit A ∈ M_n(ℝ). On suppose que, pour toutes colonnes X, Y ∈ M_n,1(ℝ), l'égalité X^TAY = 0 entraîne Y^TAX = 0. Montrer que la matrice A est…