Exercice 55

Idée. Une matrice de rang $1$ s'écrit $X{Y}^{T}$, avec deux colonnes non nulles. Sa norme vaut $\lVert X \rVert\,\lVert Y \rVert$ et sa trace $\langle X, Y \rangle$ ; en développant $\lVert M - I_{n} \rVert^{2}$, on fait apparaître l'inégalité de Cauchy-Schwarz, puis un trinôme en $\lVert X \rVert\,\lVert Y \rVert$.

On note $\langle X, Y \rangle = {X}^{T}Y$ le produit scalaire canonique de $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ et $\lVert \cdot \rVert$ les deux normes, sur les colonnes et sur les matrices, ce qui ne crée pas d'ambiguïté.

Les matrices de rang 1. Si $\mathrm{rg} M = 1$, l'image de $M$ est une droite $\mathrm{Vect}(X)$, avec $X \neq 0$, et chaque colonne de $M$ s'écrit $y_{j}X$ : ainsi $M = X{Y}^{T}$, avec $Y = (y_{j}) \neq 0$ puisque $M \neq 0$. Réciproquement, pour $X$ et $Y$ non nuls, la matrice $X{Y}^{T}$, de colonnes $y_{j}X$ non toutes nulles, est de rang $1$.

Le calcul. Les coefficients de $M = X{Y}^{T}$ sont les $x_{i}y_{j}$, donc, par la proposition 1 (ii), $$\lVert M \rVert^{2} = \sum_{i, j} x_{i}^{2}y_{j}^{2} = \lVert X \rVert^{2}\lVert Y \rVert^{2}, \qquad \langle M, I_{n} \rangle = \operatorname{tr}(M) = \sum_{i} x_{i}y_{i} = \langle X, Y \rangle.$$ On note $s = \lVert X \rVert\,\lVert Y \rVert$, qui est strictement positif. Comme $\lVert I_{n} \rVert^{2} = n$, la proposition 3 (ii) et l'inégalité de Cauchy-Schwarz donnent $$\lVert M - I_{n} \rVert^{2} = s^{2} - 2\langle X, Y \rangle + n \geqslant s^{2} - 2s + n = (s - 1)^{2} + n - 1 \geqslant n - 1.$$

Le cas d'égalité. Il y a égalité si et seulement si $s = 1$ et $\langle X, Y \rangle = \lVert X \rVert\,\lVert Y \rVert$. La seconde condition équivaut, par le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire (théorème 2), comme dans l'assertion 4 de l'exercice 49, à $Y = \lambda X$ avec $\lambda \geqslant 0$, et même $\lambda > 0$ puisque $Y \neq 0$. La première s'écrit alors $\lambda\lVert X \rVert^{2} = 1$, et $M = \lambda X{X}^{T} = \frac{X{X}^{T}}{\lVert X \rVert^{2}}$. Réciproquement, pour une telle matrice, $s = 1$ et $\langle X, Y \rangle = 1$, et $\lVert M - I_{n} \rVert^{2} = 1 - 2 + n = n - 1$. $$\boxed{\inf_{M \in \mathcal{R}} \lVert M - I_{n} \rVert = \sqrt{n - 1}, \quad \text{atteinte exactement en } M = \frac{X{X}^{T}}{\lVert X \rVert^{2}}, \ X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}) \setminus \{0\}}$$ Une recherche aléatoire sur $20\,000$ matrices de rang $1$, pour $n = 2$, $3$ et $4$, ne descend jamais sous $\sqrt{n - 1}$ ✓. La matrice $2X{X}^{T}$, avec $X$ unitaire, donne $\lVert M - I_{n} \rVert^{2} = n$ : il ne suffit pas d'avoir la bonne direction, il faut aussi la bonne « taille ».

À retenir. Pour $X = u$ unitaire, la matrice $u{u}^{T}$ est celle de la projection orthogonale sur la droite $\mathrm{Vect}(u)$, puisque $u{u}^{T}Z = \langle Z, u \rangle\,u$ (proposition 10 (i)). Les matrices de rang $1$ les plus proches de l'identité sont donc les projections orthogonales sur une droite, et il y en a une infinité : la borne inférieure est atteinte, mais pas en un point unique. La valeur $n - 1$ s'interprète aussi : $I_{n} - u{u}^{T}$ est la projection orthogonale sur l'hyperplan $u^{\perp}$, et pour une matrice $P$ symétrique telle que $P^{2} = P$, on a $\lVert P \rVert^{2} = \operatorname{tr}({P}^{T}P) = \operatorname{tr}(P) = \mathrm{rg}(P)$.