Exercice 29

Les deux équations de $F$ s'écrivent $\langle x, n_{1} \rangle = 0$ et $\langle x, n_{2} \rangle = 0$, où l'on a posé $n_{1} = (1, 1, 0, 1)$ et $n_{2} = (1, 1, 2, -1)$, vecteurs non colinéaires. Ainsi $F = \mathrm{Vect}(n_{1}, n_{2})^{\perp}$, et, par la proposition 11, $F^{\perp} = \mathrm{Vect}(n_{1}, n_{2})$, de dimension $2$, comme $F$. Il est plus court de projeter $u$ sur $F^{\perp}$, puis d'utiliser $p_{F} = \mathrm{id} - p_{F^{\perp}}$ (proposition 10 (iii)). Comme $\langle n_{1}, n_{2} \rangle = 1 \neq 0$, la base $(n_{1}, n_{2})$ n'est pas orthogonale : on écrit $p_{F^{\perp}}(u) = \alpha n_{1} + \beta n_{2}$, et l'on résout les équations normales (proposition 10 (ii)), avec $\langle u, n_{1} \rangle = 10$, $\langle u, n_{2} \rangle = 10$, $\lVert n_{1} \rVert^{2} = 3$ et $\lVert n_{2} \rVert^{2} = 7$ : $$\left\{ \begin{array}{l} 3\alpha + \beta = 10 \\ \alpha + 7\beta = 10 \end{array} \right. \qquad\text{d'où}\qquad \alpha = 3, \quad \beta = 1, \quad p_{F^{\perp}}(u) = 3n_{1} + n_{2} = (4, 4, 2, 2).$$

$$\boxed{p_{F}(u) = u - (4, 4, 2, 2) = (-3, 4, -1, -1), \qquad d(u, F) = \lVert (4, 4, 2, 2) \rVert = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}}$$ On contrôle que $p_{F}(u)$ vérifie les deux équations : $-3 + 4 - 1 = 0$ et $-3 + 4 - 2 + 1 = 0$. ✓

Piège. L'erreur la plus répandue est d'additionner les projetés de $u$ sur les deux droites $\mathrm{Vect}(n_{1})$ et $\mathrm{Vect}(n_{2})$, ce qui donnerait $\frac{10}{3}n_{1} + \frac{10}{7}n_{2}$ : la formule de la proposition 10 (i) exige une base orthogonale (première remarque qui suit cette proposition), et $n_{1}$, $n_{2}$ ne sont pas orthogonaux.