Exercice 28

1. Par la proposition 12 (iii), le vecteur $n = (2, 1, -1)$ est normal au plan $P$, et $P = \mathrm{Vect}(n)^{\perp}$. On a $\langle u, n \rangle = 6 + 4 - 3 = 7$ et $\lVert n \rVert^{2} = 6$ ; la proposition 13 donne la distance, et le projeté : $$\boxed{d(u, P) = \frac{|\langle u, n \rangle|}{\lVert n \rVert} = \frac{7}{\sqrt{6}} = \frac{7\sqrt{6}}{6}}, \qquad \boxed{p_{P}(u) = u - \frac{7}{6}n = \Big(\frac{2}{3}, \frac{17}{6}, \frac{25}{6}\Big)}$$ On contrôle que $p_{P}(u)$ appartient à $P$ : $\frac{4}{3} + \frac{17}{6} - \frac{25}{6} = \frac{8 + 17 - 25}{6} = 0$. ✓

2. Le vecteur $n = (1, 1, 2)$ est normal à $H$, avec $\lVert n \rVert^{2} = 6$. Par la proposition 13, $p_{H}(x) = x - \frac{\langle x, n \rangle}{6}n$. En colonnes, $\langle x, n \rangle n = n({n}^{T}X) = (n{n}^{T})X$, de sorte que la matrice de $p_{H}$ est $I_{3} - \frac{1}{6}n{n}^{T}$, avec $$n{n}^{T} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \end{pmatrix}, \qquad \boxed{\mathrm{Mat}(p_{H}) = \frac{1}{6}\begin{pmatrix} 5 & -1 & -2 \\ -1 & 5 & -2 \\ -2 & -2 & 2 \end{pmatrix}}$$ On contrôle que $p_{H}(n) = 0$ et que $p_{H}(1, -1, 0) = (1, -1, 0)$, vecteur de $H$. ✓ La symétrie par rapport à $H$ parallèlement à $H^{\perp}$ est $s = 2p_{H} - \mathrm{id}$ (chapitre 14, définition des symétries), de matrice $S = I_{3} - \frac{1}{3}n{n}^{T}$ : $$\boxed{S = \mathrm{Mat}(s) = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -1 & -2 \\ -1 & 2 & -2 \\ -2 & -2 & -1 \end{pmatrix}}$$ Elle est symétrique, puisque ${(n{n}^{T})}^{T} = n{n}^{T}$. Comme ${n}^{T}n = \lVert n \rVert^{2} = 6$, on a $$(n{n}^{T})^{2} = n({n}^{T}n){n}^{T} = 6\,n{n}^{T}, \qquad\text{donc}\qquad \boxed{S^{2} = I_{3} - \frac{2}{3}n{n}^{T} + \frac{1}{9}\times 6\,n{n}^{T} = I_{3}}$$ ce que confirme le produit des matrices. ✓

À retenir. Les deux propriétés vérifiées donnent ${S}^{T}S = S^{2} = I_{3}$ : les colonnes de $S$ forment une base orthonormée (remarque qui suit la proposition 9), et $s$ conserve la norme. Une symétrie par rapport à $H$ parallèlement à une autre droite que $H^{\perp}$ vérifierait encore $S^{2} = I_{3}$, mais sa matrice ne serait pas symétrique.