Exercice 19

Par hypothèse, $\lVert A \rVert^{2} = \operatorname{tr}({A}^{T}A) = \operatorname{tr}(I_{n}) = n$, c'est-à-dire $\sum_{i, j} a_{ij}^{2} = n$.

1. On applique l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans $\mathbb{R}^{n^{2}}$ (proposition 4 (i)) aux familles des $|a_{ij}|$ et des coefficients égaux à $1$ : $$\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{n} |a_{ij}| \cdot 1 \leqslant \Big(\sum_{i, j} a_{ij}^{2}\Big)^{1/2}\Big(\sum_{i, j} 1\Big)^{1/2} = \sqrt{n} \cdot \sqrt{n^{2}}.$$

$$\boxed{\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{n} |a_{ij}| \leqslant n\sqrt{n}}$$ Il y a égalité si et seulement si tous les $|a_{ij}|$ sont égaux, donc égaux à $\frac{1}{\sqrt{n}}$. C'est possible pour $n = 2$, avec $A = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$, mais pas pour $n = 3$ : deux colonnes à coefficients $\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$ ont un produit scalaire égal à $\frac{\pm 1 \pm 1 \pm 1}{3}$, dont le numérateur est impair, donc non nul.

2. La colonne $AU$ a pour coefficients les sommes des lignes de $A$, et ${U}^{T}(AU)$ est la somme de ces sommes : $\sum_{i, j} a_{ij} = \langle U, AU \rangle$. Par ailleurs, $\lVert AU \rVert^{2} = {U}^{T}{A}^{T}AU = {U}^{T}U = n$. L'inégalité de Cauchy-Schwarz dans $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ donne $$\boxed{\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{n} a_{ij} = \langle U, AU \rangle \leqslant \lVert U \rVert\,\lVert AU \rVert = \sqrt{n} \cdot \sqrt{n} = n}$$ avec égalité si et seulement si $AU = U$, comme pour $A = I_{n}$ : par le cas d'égalité, $AU$ est un multiple positif de $U$, de même norme.

À retenir. Une matrice telle que ${A}^{T}A = I_{n}$ conserve la norme des colonnes : $\lVert AX \rVert = \lVert X \rVert$. C'est ce qui rend la question 2 bien plus précise que la question 1, dont elle ne se déduit pas : la majoration $n\sqrt{n}$ de la question 1 ne tient pas compte des signes, et elle est atteinte pour $n = 2$, alors que la somme des coefficients ne dépasse jamais $n$.