Exercice 20

La famille est orthonormée. Soit $j \in [\![1\,;n]\!]$. L'hypothèse, appliquée à $x = e_{j}$, donne, puisque $e_{j}$ est unitaire, $$1 = \lVert e_{j} \rVert^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \langle e_{j}, e_{i} \rangle^{2} = 1 + \sum_{i \neq j} \langle e_{j}, e_{i} \rangle^{2}.$$ Une somme de carrés nulle a tous ses termes nuls : $\langle e_{j}, e_{i} \rangle = 0$ pour tout $i \neq j$. La famille est orthonormée, donc libre (proposition 6).

La famille est génératrice. Soit $x \in E$ ; on pose $$y = x - \sum_{i = 1}^{n} \langle x, e_{i} \rangle e_{i}.$$ Par orthonormalité, $\langle y, e_{j} \rangle = \langle x, e_{j} \rangle - \langle x, e_{j} \rangle = 0$ pour tout $j$, donc $y$ est orthogonal à chacun des vecteurs $\langle x, e_{i} \rangle e_{i}$. Le théorème de Pythagore (théorème 3 (ii)), appliqué à la famille orthogonale $\big(y, \langle x, e_{1} \rangle e_{1}, \dots, \langle x, e_{n} \rangle e_{n}\big)$, donne $$\lVert x \rVert^{2} = \lVert y \rVert^{2} + \sum_{i = 1}^{n} \langle x, e_{i} \rangle^{2} = \lVert y \rVert^{2} + \lVert x \rVert^{2},$$ donc $\lVert y \rVert = 0$, $y = 0$, et $x = \sum_{i} \langle x, e_{i} \rangle e_{i} \in \mathrm{Vect}(e_{1}, \dots, e_{n})$. $$\boxed{(e_{1}, \dots, e_{n}) \text{ est une base orthonormée de } E, \text{ et } \dim E = n}$$ Piège. L'hypothèse « unitaires » est indispensable. Dans $\mathbb{R}^{2}$, les trois vecteurs $\sqrt{\frac{2}{3}}\,x_{1}$, $\sqrt{\frac{2}{3}}\,x_{2}$, $\sqrt{\frac{2}{3}}\,x_{3}$, où $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ sont les vecteurs à $120^{\circ}$ de l'exercice 17, vérifient $\sum_{i} \langle x, e_{i} \rangle^{2} = \lVert x \rVert^{2}$ pour tout $x$, sans être orthogonaux ni former une base ; ils ont pour norme $\sqrt{\frac{2}{3}}$. Plus simplement, $\big(e_{1}, \frac{e_{2}}{\sqrt{2}}, \frac{e_{2}}{\sqrt{2}}\big)$ convient aussi. La réciproque est la proposition 8 : dans une base orthonormée, $\lVert x \rVert^{2} = \sum_{i} \langle x, e_{i} \rangle^{2}$. L'exercice caractérise donc les bases orthonormées parmi les familles de vecteurs unitaires par cette seule identité, et l'inégalité de Bessel (proposition 10 (iv)) en éclairera la signification : pour une famille orthonormée quelconque, on a seulement $\sum_{i} \langle x, e_{i} \rangle^{2} \leqslant \lVert x \rVert^{2}$.