Exercice 21

1. Une famille orthonormée est libre, quel que soit le produit scalaire (proposition 6) : la liberté de $\mathcal{F}$ est donc nécessaire. Montrons qu'elle est suffisante. Si $\mathcal{F}$ est libre, le théorème de la base incomplète (chapitre 15, théorème 2) la complète en une base $(f_{1}, \dots, f_{n})$ de $E$. Pour $x$, $y \in E$ de coordonnées $(x_{k})$ et $(y_{k})$ dans cette base, on pose $$\langle x, y \rangle = \sum_{k = 1}^{n} x_{k}y_{k}.$$ Les coordonnées dépendent linéairement du vecteur (chapitre 14, théorème 2) : cette application est bilinéaire, et elle est symétrique. On a $\langle x, x \rangle = \sum x_{k}^{2} \geqslant 0$, avec égalité seulement si toutes les coordonnées sont nulles, c'est-à-dire si $x = 0$ : c'est un produit scalaire, et $\langle f_{i}, f_{j} \rangle = \delta_{ij}$ puisque les coordonnées de $f_{i}$ sont nulles sauf la $i$-ième, égale à $1$. $$\boxed{\text{il existe un produit scalaire rendant } \mathcal{F} \text{ orthonormée} \iff \mathcal{F} \text{ est libre}}$$ On transporte ainsi le produit canonique de $\mathbb{R}^{n}$ par l'isomorphisme « coordonnées » : c'est la remarque qui suit la proposition 8, lue à l'envers.

2. La famille $\mathcal{F}$ est libre, et c'est une base de $\mathbb{R}^{2}$. Un produit scalaire pour lequel elle est orthonormée est unique : par bilinéarité, si $x = af_{1} + bf_{2}$ et $y = a'f_{1} + b'f_{2}$, on a nécessairement $\langle x, y \rangle = aa' + bb'$. On cherche donc les coordonnées de $x = (x_{1}, x_{2})$ dans $\mathcal{F}$ : l'égalité $(x_{1}, x_{2}) = a(1, 1) + b(0, 2)$ donne $a = x_{1}$ et $a + 2b = x_{2}$. $$\boxed{x = x_{1}f_{1} + \frac{x_{2} - x_{1}}{2}f_{2}, \qquad \langle x, y \rangle = x_{1}y_{1} + \frac{(x_{2} - x_{1})(y_{2} - y_{1})}{4}}$$ On contrôle que $\langle f_{1}, f_{1} \rangle = 1 + 0 = 1$, que $\langle f_{2}, f_{2} \rangle = 0 + \frac{4}{4} = 1$ et que $\langle f_{1}, f_{2} \rangle = 0 + 0 = 0$. ✓ La condition $\lVert x \rVert^{2} \leqslant 1$ s'écrit $4x_{1}^{2} + (x_{2} - x_{1})^{2} \leqslant 4$, soit, après développement : $$\boxed{B = \big\{(x_{1}, x_{2}) \in \mathbb{R}^{2} \;\big|\; 5x_{1}^{2} - 2x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} \leqslant 4\big\}}$$ Pour la tracer, on remarque que $B$ est l'image du disque unité usuel par l'application $$(a, b) \longmapsto af_{1} + bf_{2} = (a, a + 2b) \, ;$$ son bord est la courbe paramétrée $\theta \mapsto (\cos\theta, \cos\theta + 2\sin\theta)$, une ellipse. Elle passe par $\pm f_{1} = \pm(1, 1)$ et $\pm f_{2} = \pm(0, 2)$, coupe l'axe des abscisses en $\pm\frac{2}{\sqrt{5}}$, et $x_{2}$ y varie entre $-\sqrt{5}$ et $\sqrt{5}$.

La boule $B$, en bleu, est une ellipse : pour ce produit scalaire, $f_{1}$ et $f_{2}$ sont unitaires et orthogonaux, alors qu'ils ne le sont pas pour le produit canonique, dont la boule unité est le disque en pointillés. L'ellipse est tangente aux droites $x_{1} = \pm 1$ en $\pm f_{1}$, puisque $x_{1} = \cos\theta$ y est maximal.

À retenir. Être orthonormée n'est pas une propriété d'une famille, mais d'une famille et d'un produit scalaire : toute base est orthonormée pour un produit bien choisi, comme le disait le second exemple qui suit le théorème 5. Changer de produit scalaire, c'est déformer les cercles en ellipses.