Exercice 22

1. Pour $a \in E$, l'application $x \mapsto \langle a, x \rangle$ est linéaire, par linéarité du produit scalaire par rapport à la seconde variable : $\Phi(a)$ appartient bien à $\mathcal{L}(E, \mathbb{R})$. La linéarité par rapport à la première variable donne $\Phi(\lambda a + \mu b) = \lambda\Phi(a) + \mu\Phi(b)$ : l'application $\Phi$ est linéaire. Elle est injective : si $\Phi(a) = 0$, alors en particulier $\langle a, a \rangle = \Phi(a)(a) = 0$, donc $a = 0$ par le caractère défini. Enfin, $\dim \mathcal{L}(E, \mathbb{R}) = \dim E \times 1 = \dim E$ (chapitre 15, proposition 8), et une application linéaire injective entre deux espaces de même dimension finie est bijective (chapitre 15, théorème 10). $$\boxed{\Phi : a \longmapsto \langle a, \cdot \rangle \text{ est un isomorphisme de } E \text{ sur } \mathcal{L}(E, \mathbb{R})}$$

2. L'existence de $u$ est la surjectivité de $\Phi$, et son unicité est l'injectivité : $u = \Phi^{-1}(\varphi)$. $$\boxed{\forall\,\varphi \in \mathcal{L}(E, \mathbb{R}), \ \exists!\,u \in E, \ \forall\,x \in E, \quad \varphi(x) = \langle u, x \rangle}$$ Piège. L'hypothèse « $E$ de dimension finie » sert à l'argument de dimension. En dimension infinie, $\Phi$ reste injective mais n'est plus surjective en général : l'exercice 40 en donne un exemple sur $\mathbb{R}[X]$.

3. (a) Pour $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$, on a $\langle I_{n}, M \rangle = \operatorname{tr}({I_{n}}^{T}M) = \operatorname{tr} M$. Par l'unicité de la question 2 : $$\boxed{u = I_{n}}$$ (b) Le déterminant est linéaire par rapport à sa dernière colonne, donc $\varphi$ est une forme linéaire. On le développe suivant cette colonne (chapitre 17, théorème 7) : $$\det(a, b, x) = \begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} & x_{1} \\ a_{2} & b_{2} & x_{2} \\ a_{3} & b_{3} & x_{3} \end{vmatrix} = (a_{2}b_{3} - a_{3}b_{2})x_{1} + (a_{3}b_{1} - a_{1}b_{3})x_{2} + (a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1})x_{3}.$$ C'est le produit scalaire canonique de $x$ avec le vecteur suivant, qui est donc le vecteur $u$ cherché : $$\boxed{u = \big(a_{2}b_{3} - a_{3}b_{2},\ a_{3}b_{1} - a_{1}b_{3},\ a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1}\big)}$$ On contrôle que $\langle u, a \rangle = \det(a, b, a) = 0$ et $\langle u, b \rangle = 0$, puisqu'un déterminant à deux colonnes égales est nul : $u$ est orthogonal à $a$ et à $b$. ✓ De plus, $u = 0$ si et seulement si $\det(a, b, x) = 0$ pour tout $x$, c'est-à-dire si et seulement si $(a, b)$ est liée : si elle est libre, on la complète en une base $(a, b, x)$, de déterminant non nul (chapitre 17, théorème 4). Ce vecteur sera étudié pour lui-même en seconde année.

4. Par la proposition 2 (ii), appliquée sur $[0\,,\pi]$ avec le poids $w = \sin$, continu, positif et nul seulement en $0$ et en $\pi$, la formule $\langle P, Q \rangle = \int_{0}^{\pi} P(t)Q(t)\sin t\,\mathrm{d} t$ définit un produit scalaire sur $\mathbb{R}[X]$, donc sur le sous-espace $\mathbb{R}_{n}[X]$, qui est de dimension $n + 1$ : $\mathbb{R}_{n}[X]$ est euclidien. La fonction $t \mapsto \frac{1}{1 + \ln^{2} t}$ est continue sur $[2\,,7]$, et la linéarité de l'intégrale (chapitre 18, théorème 3) montre que $$\varphi : Q \longmapsto \int_{2}^{7} \frac{Q(t)}{1 + \ln^{2} t}\,\mathrm{d} t$$ est une forme linéaire sur $\mathbb{R}_{n}[X]$. La question 2 fournit un unique $P \in \mathbb{R}_{n}[X]$ tel que $\varphi(Q) = \langle P, Q \rangle$ pour tout $Q \in \mathbb{R}_{n}[X]$ : c'est l'égalité demandée. $$\boxed{\exists!\,P \in \mathbb{R}_{n}[X], \ \forall\,Q \in \mathbb{R}_{n}[X], \quad \int_{2}^{7} \frac{Q(t)}{1 + \ln^{2} t}\,\mathrm{d} t = \int_{0}^{\pi} P(t)Q(t)\sin t\,\mathrm{d} t}$$ Piège. L'erreur la plus répandue est de chercher à calculer $P$, ou à « identifier » les deux intégrales : elles portent sur des intervalles différents, et aucune manipulation de l'intégrale n'y mène. L'existence est purement géométrique. Remarquons aussi que l'unicité tient à la condition $P \in \mathbb{R}_{n}[X]$ : dans $\mathbb{R}[X]$, on peut ajouter à $P$ n'importe quel polynôme orthogonal à $\mathbb{R}_{n}[X]$, par exemple le polynôme $Q_{n + 1}$ de degré $n + 1$ fourni par la proposition 7 pour ce poids.