Exercice 23

1. On raisonne par l'absurde. Si $(f_{1}, \dots, f_{n})$ n'est pas une base, cette famille de $n$ vecteurs de l'espace $E$ de dimension $n$ est liée (chapitre 15, théorème 4) : il existe des réels $\lambda_{1}$, …, $\lambda_{n}$ non tous nuls tels que $\sum_{k} \lambda_{k}f_{k} = 0$, et, quitte à les diviser tous par $\sqrt{\sum_{k} \lambda_{k}^{2}}$, on peut supposer $\sum_{k} \lambda_{k}^{2} = 1$. Alors $$\sum_{k = 1}^{n} \lambda_{k}e_{k} = \sum_{k = 1}^{n} \lambda_{k}e_{k} - \sum_{k = 1}^{n} \lambda_{k}f_{k} = \sum_{k = 1}^{n} \lambda_{k}(e_{k} - f_{k}).$$ La base $(e_{k})$ étant orthonormée, la proposition 8 donne au membre de gauche la norme $\sqrt{\sum_{k} \lambda_{k}^{2}} = 1$. Au membre de droite, on applique l'inégalité triangulaire (théorème 2, étendue à $n$ termes par récurrence), puis l'hypothèse. Comme l'un au moins des $\lambda_{k}$ n'est pas nul, et que pour lui $|\lambda_{k}|\,\lVert e_{k} - f_{k} \rVert < \frac{|\lambda_{k}|}{\sqrt{n}}$, l'inégalité est stricte : $$1 = \Big\lVert \sum_{k = 1}^{n} \lambda_{k}(e_{k} - f_{k})\Big\rVert \leqslant \sum_{k = 1}^{n} |\lambda_{k}|\,\lVert e_{k} - f_{k} \rVert < \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k = 1}^{n} |\lambda_{k}|.$$ Enfin, l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans $\mathbb{R}^{n}$ (proposition 4 (i)), appliquée à $(|\lambda_{k}|)$ et à $(1, \dots, 1)$, donne $\sum_{k} |\lambda_{k}| \leqslant \sqrt{\sum_{k} \lambda_{k}^{2}}\,\sqrt{n} = \sqrt{n}$. On obtient $1 < 1$, ce qui est absurde. $$\boxed{\lVert f_{k} - e_{k} \rVert < \frac{1}{\sqrt{n}} \text{ pour tout } k \implies (f_{1}, \dots, f_{n}) \text{ est une base de } E}$$

2. Non. On note $s = e_{1} + \cdots + e_{n}$, de norme $\sqrt{n}$ par la proposition 8, et l'on pose $f_{k} = e_{k} - \frac{1}{n}s$. Alors $$\lVert f_{k} - e_{k} \rVert = \frac{\lVert s \rVert}{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} \qquad\text{et}\qquad \sum_{k = 1}^{n} f_{k} = s - n \cdot \frac{s}{n} = 0.$$

$$\boxed{\text{avec } f_{k} = e_{k} - \frac{e_{1} + \cdots + e_{n}}{n}, \ \lVert f_{k} - e_{k} \rVert = \frac{1}{\sqrt{n}} \text{ et } (f_{1}, \dots, f_{n}) \text{ est liée}}$$ Pour $n = 1$, c'est $f_{1} = 0$ ; pour $n = 2$, dans $\mathbb{R}^{2}$ muni de sa base canonique, $f_{1} = \big(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\big)$ et $f_{2} = \big(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\big) = -f_{1}$.

Si $f_{1}$ est dans le disque ouvert de centre $e_{1}$ et $f_{2}$ dans celui de centre $e_{2}$, de rayon $\frac{1}{\sqrt{2}}$, aucune droite passant par $0$ ne rencontre les deux disques : la distance de $e_{1}$ et celle de $e_{2}$ à une droite d'angle $\theta$ valent $|\sin\theta|$ et $|\cos\theta|$, qui ne peuvent être toutes deux strictement inférieures à $\frac{1}{\sqrt{2}}$. Les droites $y = \pm x$ sont tangentes aux deux cercles, et le contre-exemple place $f_{1}$ et $f_{2}$ aux points de contact avec $y = -x$.

À retenir. Une famille assez proche d'une base orthonormée est encore une base : la liberté est une propriété « stable par petite perturbation ». La borne $\frac{1}{\sqrt{n}}$ ne peut pas être élargie, et elle se dégrade quand la dimension augmente.