Exercice 24

Soit $\mathcal{E} = (e_{1}, \dots, e_{n})$ une base dans laquelle la matrice $T$ de $u$ est triangulaire supérieure. Pour $k \in [\![1\,;n]\!]$, on note $F_{k} = \mathrm{Vect}(e_{1}, \dots, e_{k})$. Dire que la matrice est triangulaire supérieure, c'est dire que la $k$-ième colonne, formée des coordonnées de $u(e_{k})$, n'a de coefficients non nuls que sur ses $k$ premières lignes : $u(e_{k}) \in F_{k}$ pour tout $k$. Comme $F_{j} \subset F_{k}$ pour $j \leqslant k$, on en déduit que $u(e_{j}) \in F_{k}$ pour tout $j \leqslant k$, donc, par linéarité, que $u(F_{k}) \subset F_{k}$ : chaque $F_{k}$ est stable par $u$.

On applique l'algorithme de Gram-Schmidt (théorème 4) à la base $\mathcal{E}$ : il fournit une base orthonormée $(\varepsilon_{1}, \dots, \varepsilon_{n})$ telle que, pour tout $k$, $F_{k} = \mathrm{Vect}(\varepsilon_{1}, \dots, \varepsilon_{k})$. Alors $$u(\varepsilon_{k}) \in u(F_{k}) \subset F_{k} = \mathrm{Vect}(\varepsilon_{1}, \dots, \varepsilon_{k}) \, :$$ les coordonnées de $u(\varepsilon_{k})$ dans la base $(\varepsilon_{i})$ sont nulles au-delà de la $k$-ième. $$\boxed{\text{la matrice de } u \text{ dans la base orthonormée } (\varepsilon_{1}, \dots, \varepsilon_{n}) \text{ est triangulaire supérieure}}$$ Les coefficients diagonaux sont d'ailleurs les mêmes dans les deux bases. La matrice de passage $P$ de $\mathcal{E}$ à $(\varepsilon_{k})$ est triangulaire supérieure, puisque $\varepsilon_{k} \in F_{k}$ ; la nouvelle matrice est $P^{-1}TP$ (chapitre 16, théorème 4), et le coefficient diagonal d'un produit de matrices triangulaires supérieures est le produit des coefficients diagonaux (chapitre 16, propositions 6 et 12) : $\frac{1}{p_{kk}} \cdot t_{kk} \cdot p_{kk} = t_{kk}$. Sur un exemple de $\mathbb{R}^{3}$, un calcul symbolique confirme les deux propriétés. ✓

À retenir. L'algorithme de Gram-Schmidt conserve les sous-espaces $\mathrm{Vect}(e_{1}, \dots, e_{k})$ : toute propriété qui ne s'exprime qu'à travers ces sous-espaces, comme la stabilité par $u$, passe de la base de départ à la base orthonormée. L'exercice 26 en tirera la décomposition $A = OT$.