Exercice 25

1. Soit $i_{0}$ un indice tel que $\lambda_{i_{0}} \neq 0$. Le vecteur $x$ étant non nul, la famille $(x)$ est libre, et le théorème de la base incomplète (chapitre 15, théorème 2) la complète en une base $(x, h_{2}, \dots, h_{n})$ de $E$. On numérote $b_{i}$, pour $i \neq i_{0}$, les vecteurs $h_{2}$, …, $h_{n}$, dans cet ordre, et l'on pose $$b_{i_{0}} = \frac{1}{\lambda_{i_{0}}}\Big(x - \sum_{i \neq i_{0}} \lambda_{i}b_{i}\Big), \qquad\text{de sorte que}\qquad x = \sum_{i = 1}^{n} \lambda_{i}b_{i}.$$ La famille $(b_{1}, \dots, b_{n})$ engendre un sous-espace qui contient les $h_{j}$ et $x = \sum_{i} \lambda_{i}b_{i}$, donc la base $(x, h_{2}, \dots, h_{n})$ : elle est génératrice, et, formée de $n$ vecteurs, c'est une base (chapitre 15, théorème 4). $$\boxed{\text{il existe une base } (b_{1}, \dots, b_{n}) \text{ de } E \text{ dans laquelle } x \text{ a pour coordonnées } (\lambda_{1}, \dots, \lambda_{n})}$$ L'hypothèse $(\lambda_{i}) \neq 0$ est indispensable, puisque $x \neq 0$ ; c'est la seule condition.

2. Condition nécessaire. Si $x$ a pour coordonnées $(\lambda_{i})$ dans une base orthonormée, la proposition 8 donne $\lVert x \rVert^{2} = \sum_{i} \lambda_{i}^{2}$.

Condition suffisante. Supposons que $\sum_{i} \lambda_{i}^{2} = \lVert x \rVert^{2}$, et notons $r = \lVert x \rVert$, qui est strictement positif ; on note encore $\lambda = (\lambda_{1}, \dots, \lambda_{n})$, vecteur de $\mathbb{R}^{n}$ de norme canonique $r$. Par le théorème de la base orthonormée incomplète (théorème 5 (ii)), on dispose :

• d'une base orthonormée $(f_{1}, \dots, f_{n})$ de $E$ telle que $f_{1} = \frac{x}{r}$ ;

• d'une base orthonormée $(g_{1}, \dots, g_{n})$ de $\mathbb{R}^{n}$, muni du produit canonique, telle que $g_{1} = \frac{\lambda}{r}$.

Soit $G \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ la matrice dont les colonnes sont les $g_{k}$. Sa matrice de Gram est ${G}^{T}G = I_{n}$ (proposition 9 (i)) : $G$ est inversible d'inverse ${G}^{T}$ (chapitre 16, théorème 3), donc on a aussi $G{G}^{T} = I_{n}$, et les lignes de $G$ sont orthonormées. On pose alors $$e_{i} = \sum_{k = 1}^{n} G_{ik}\,f_{k} \qquad (1 \leqslant i \leqslant n),$$ vecteur dont les coordonnées dans la base orthonormée $(f_{k})$ forment la ligne $i$ de $G$. Par la proposition 8, $\langle e_{i}, e_{j} \rangle = \sum_{k} G_{ik}G_{jk} = (G{G}^{T})_{ij} = \delta_{ij}$ : la famille $(e_{1}, \dots, e_{n})$ est orthonormée, donc c'est une base orthonormée de $E$. Enfin, la coordonnée d'indice $i$ de $x = rf_{1}$ dans cette base vaut $$\langle x, e_{i} \rangle = r\langle f_{1}, e_{i} \rangle = rG_{i1} = r \times \frac{\lambda_{i}}{r} = \lambda_{i},$$ puisque la première colonne de $G$ est $g_{1} = \frac{\lambda}{r}$. $$\boxed{\text{il existe une base orthonormée dans laquelle } x \text{ a pour coordonnées } (\lambda_{i}) \iff \sum_{i = 1}^{n} \lambda_{i}^{2} = \lVert x \rVert^{2}}$$ Sur des données tirées au hasard, pour $n$ de $2$ à $5$, un calcul numérique vérifie que la famille construite est orthonormée et donne bien les coordonnées $(\lambda_{i})$. ✓

Piège. L'erreur la plus répandue est de croire que ${G}^{T}G = I_{n}$ ne dit rien des lignes. Pour une matrice carrée, c'est l'inversibilité qui permet de passer de ${G}^{T}G = I_{n}$ à $G{G}^{T} = I_{n}$ ; pour une matrice rectangulaire à colonnes orthonormées, les lignes ne sont pas orthonormées en général.

À retenir. Dans une base quelconque, n'importe quel $n$-uplet non nul peut servir de coordonnées à $x$ ; dans une base orthonormée, la norme est la seule contrainte. C'est la traduction de la proposition 8 : un espace euclidien « ressemble » à $\mathbb{R}^{n}$, et ses bases orthonormées sont toutes équivalentes.