Exercice 52

On munit $\mathbb{R}[X]$ du produit scalaire défini par $\langle P, Q \rangle = \int_{0}^{1} PQ$ (proposition 2 (ii)). On a alors $I(P) = \lVert X^{n} - P \rVert^{2}$.

1. Le sous-espace $\mathbb{R}_{n - 1}[X]$ est de dimension finie $n$. Par le théorème 7, la distance de $X^{n}$ à $\mathbb{R}_{n - 1}[X]$ est atteinte en un unique point, le projeté orthogonal : $$\boxed{I \text{ atteint son minimum en un unique } P = p_{\mathbb{R}_{n - 1}[X]}(X^{n})}$$

2.(a) Pour $i \in [\![0\,;n - 1]\!]$, les dénominateurs $i + j + 1$ sont non nuls, et pour tout entier $k \geqslant 0$, $$\frac{1}{i + k + 1} = \int_{0}^{1} t^{i + k}\,\mathrm{d} t = \langle X^{i}, X^{k} \rangle.$$ Donc $$F(i) = \langle X^{i}, X^{n} \rangle - \sum_{j = 0}^{n - 1} a_{j}\langle X^{i}, X^{j} \rangle = \langle X^{i}, X^{n} - P \rangle = 0,$$ puisque $X^{n} - P$ est orthogonal à $\mathbb{R}_{n - 1}[X]$ (proposition 10 (ii)) : $\boxed{F(i) = 0 \text{ pour } 0 \leqslant i \leqslant n - 1}$.

(b) Soit $D = (X + 1)(X + 2)\cdots(X + n + 1)$, de degré $n + 1$. En réduisant au même dénominateur, $F = \frac{N}{D}$, où $N$ est un polynôme de degré au plus $n$ : chaque terme $\frac{1}{X + k}$ devient $\frac{D/(X + k)}{D}$, et $\frac{D}{X + k}$ est un produit de $n$ facteurs de degré $1$. Pour $i \in [\![0\,;n - 1]\!]$, on a $D(i) \neq 0$ et $N(i) = D(i)F(i) = 0$. Le polynôme $N$ a donc les $n$ racines distinctes $0$, $1$, …, $n - 1$ ; il est divisible par leur produit (chapitre 13, proposition 8), et, son degré étant au plus $n$, il existe une constante $c$ telle que $$N = c\,X(X - 1)\cdots(X - n + 1).$$ On détermine $c$ par le pôle $-(n + 1)$ : la fraction $(X + n + 1)F = 1 - \sum_{j} a_{j}\frac{X + n + 1}{X + j + 1}$ prend la valeur $1$ en $-(n + 1)$. D'autre part, $(X + n + 1)F = \frac{N}{(X + 1)\cdots(X + n)}$, dont la valeur en $-(n + 1)$ est $$c\,\frac{\prod_{i = 0}^{n - 1} \big(-(n + 1 + i)\big)}{\prod_{k = 1}^{n} (k - n - 1)} = c\,\frac{(-1)^{n}(n + 1)(n + 2)\cdots(2n)}{(-1)^{n}\,n!} = c\,\frac{(2n)!}{(n!)^{2}} = c\binom{2n}{n}.$$ Ainsi $c = \binom{2n}{n}^{-1}$, et $$\boxed{F = \frac{X(X - 1)\cdots(X - n + 1)}{\binom{2n}{n}(X + 1)(X + 2)\cdots(X + n + 1)}}$$

(c) En $X = n$, le numérateur vaut $n!$, et le produit $(n + 1)(n + 2)\cdots(2n + 1)$ vaut $\frac{(2n + 1)!}{n!}$, d'où $$F(n) = \frac{(n!)^{2}}{\binom{2n}{n}(2n + 1)!} = \frac{1}{\binom{2n}{n}(2n + 1)\binom{2n}{n}}.$$ D'autre part, le calcul de la question (a), fait avec $i = n$, donne $F(n) = \langle X^{n}, X^{n} - P \rangle$. Comme $P$ est orthogonal à $X^{n} - P$, on peut retrancher $\langle P, X^{n} - P \rangle = 0$ : $$F(n) = \langle X^{n} - P, X^{n} - P \rangle = I(P), \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{\min_{P \in \mathbb{R}_{n - 1}[X]} \int_{0}^{1}\big(t^{n} - P(t)\big)^{2}\,\mathrm{d} t = \frac{1}{(2n + 1)\binom{2n}{n}^{2}}}$$ Pour $n = 1$, on trouve $\frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}$, qui est bien $\int_{0}^{1}\big(t - \frac{1}{2}\big)^{2}\,\mathrm{d} t$ ✓ ; pour $n = 3$, $\frac{1}{7 \cdot 400} = \frac{1}{2800}$. Toutes ces valeurs ont été contrôlées par la résolution directe des équations normales, pour $1 \leqslant n \leqslant 6$ ✓.

3. Pour $n = 2$, la formule donne $\frac{1}{5 \cdot 36} = \frac{1}{180}$, qui est bien le carré de la distance de $t^{2}$ aux fonctions affines trouvé à la section 19.6 du cours ✓. Le cours donne aussi le projeté $t - \frac{1}{6}$, c'est-à-dire $a_{0} = -\frac{1}{6}$ et $a_{1} = 1$ ; on vérifie que $$\frac{1}{X + 3} + \frac{1}{6(X + 1)} - \frac{1}{X + 2} = \frac{X(X - 1)}{6(X + 1)(X + 2)(X + 3)},$$ en réduisant au même dénominateur, puisque le numérateur vaut $$6(X + 1)(X + 2) + (X + 2)(X + 3) - 6(X + 1)(X + 3) = X^{2} - X \quad \checkmark$$

À retenir. Par la formule de Stirling (chapitre 18, théorème 10), $\binom{2n}{n} \sim \frac{4^{n}}{\sqrt{\pi n}}$, et le minimum est équivalent à $\frac{\pi}{2 \cdot 16^{n}}$ : pour $n = 20$, le rapport des deux vaut $0{,}988$ ✓. La distance de $t^{n}$ aux polynômes de degré inférieur décroît comme $4^{-n}$ : sur $[0\,,1]$, la fonction $t^{n}$ est très bien approchée par des polynômes de degré plus petit. Les coefficients $a_{j}$ sont solution d'un système dont la matrice est la matrice de Hilbert de l'exercice 27 ; la fraction rationnelle évite de résoudre ce système, très sensible aux erreurs d'arrondi.