Exercice 16

1. L'application est symétrique, et linéaire par rapport à $P$, puisque $P \mapsto P(\cos\theta)$ est linéaire et que l'intégrale l'est. Pour $P \in \mathbb{R}[X]$, la fonction $\theta \mapsto P(\cos\theta)^{2}$ est continue et positive sur $[0\,,\pi]$, donc $\langle P, P \rangle \geqslant 0$. Si $\langle P, P \rangle = 0$, cette fonction est nulle (chapitre 18, théorème 4) : $P(\cos\theta) = 0$ pour tout $\theta \in [0\,,\pi]$. Comme $\cos$ réalise une bijection de $[0\,,\pi]$ sur $[-1\,,1]$, le polynôme $P$ s'annule sur tout le segment $[-1\,,1]$ : il a une infinité de racines, donc il est nul (chapitre 13, théorème 3). $$\boxed{\langle P, Q \rangle = \int_{0}^{\pi} P(\cos\theta)\,Q(\cos\theta)\,\mathrm{d}\theta \ \text{ est un produit scalaire sur } \mathbb{R}[X]}$$

2. Par définition de $T_{k}$, on a $\langle T_{k}, T_{\ell} \rangle = \int_{0}^{\pi} \cos(k\theta)\cos(\ell\theta)\,\mathrm{d}\theta$. On linéarise le produit (chapitre 4) : $$\cos(k\theta)\cos(\ell\theta) = \frac{1}{2}\big(\cos((k - \ell)\theta) + \cos((k + \ell)\theta)\big).$$ Pour un entier $m \neq 0$, $\int_{0}^{\pi} \cos(m\theta)\,\mathrm{d}\theta = \Big[\frac{\sin(m\theta)}{m}\Big]_{0}^{\pi} = 0$, et pour $m = 0$ l'intégrale vaut $\pi$. Si $k \neq \ell$, les deux entiers $k - \ell$ et $k + \ell$ sont non nuls ; si $k = \ell \geqslant 1$, seul $k - \ell$ est nul ; si $k = \ell = 0$, les deux le sont. $$\boxed{\langle T_{k}, T_{\ell} \rangle = 0 \ (k \neq \ell), \qquad \lVert T_{0} \rVert^{2} = \pi, \qquad \lVert T_{k} \rVert^{2} = \frac{\pi}{2} \ (k \geqslant 1)}$$ La famille $(T_{k})_{k \in \mathbb{N}}$ est orthogonale : c'est l'orthogonalité des fonctions $\cos(k\,\cdot)$ de l'exemple qui suit le théorème 3, transportée par le changement de variable $t = \cos\theta$.

3. Posons $u_{0} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}T_{0}$ et $u_{k} = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\,T_{k}$ pour $k \in [\![1\,;N]\!]$. Par la question 2, la famille $(u_{0}, \dots, u_{N})$ est orthonormée. Par l'exercice 53 de la feuille du chapitre 13, $T_{k}$ est de degré $k$, de coefficient dominant $2^{k - 1}$ pour $k \geqslant 1$ ; la famille $(u_{0}, \dots, u_{k})$ est donc à degrés échelonnés, et elle engendre $\mathbb{R}_{k}[X]$, c'est-à-dire $\mathrm{Vect}(1, X, \dots, X^{k})$ (chapitre 14, proposition 10). Enfin, pour $k \geqslant 1$, on écrit $$X^{k} = 2^{1 - k}T_{k} + R_{k}, \qquad R_{k} \in \mathbb{R}_{k - 1}[X] = \mathrm{Vect}(u_{0}, \dots, u_{k - 1}),$$ où $R_{k}$ est orthogonal à $u_{k}$, d'où $$\langle u_{k}, X^{k} \rangle = 2^{1 - k}\sqrt{\frac{2}{\pi}}\,\lVert T_{k} \rVert^{2} > 0, \qquad\text{et}\qquad \langle u_{0}, 1 \rangle = \sqrt{\pi} > 0.$$ Les conditions d'unicité du théorème 4 sont remplies : la famille $(u_{k})$ est celle que fournit l'algorithme. $$\boxed{u_{0} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}, \qquad u_{k} = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\,T_{k} \quad (1 \leqslant k \leqslant N)}$$ Par exemple, $u_{2} = \sqrt{\frac{2}{\pi}}(2X^{2} - 1)$ et $u_{3} = \sqrt{\frac{2}{\pi}}(4X^{3} - 3X)$, ce que confirme le calcul direct de l'algorithme pour $N = 3$ ✓.

À retenir. Pour orthonormaliser, il n'est pas toujours nécessaire d'exécuter l'algorithme : il suffit de deviner une famille orthonormée et de vérifier les deux conditions d'unicité du théorème 4, l'égalité des sous-espaces engendrés et la positivité des $\langle u_{k}, e_{k} \rangle$. L'erreur la plus répandue est d'oublier la seconde : $-u_{k}$ conviendrait aussi pour la première. Les polynômes de Tchebychev sont ainsi les polynômes orthogonaux de ce produit scalaire, comme les polynômes de Legendre pour $\int_{-1}^{1} PQ$ ; on retrouve, par l'exercice 53 de la feuille du chapitre 13, que $T_{k}$ a ses $k$ racines simples dans $]-1\,,1[$, en accord avec la proposition 7.