Exercice 2

Dans les trois cas, l'expression est symétrique en les deux variables ; elle est linéaire par rapport à la première, car la dérivation $f \mapsto f'$ (ou $P \mapsto P^{(k)}$), l'évaluation en un point et l'intégrale sont linéaires. Il reste à étudier $\langle f, f \rangle$.

(a) Pour $f \in E$, la fonction $f'$ est continue sur $[-1\,,1]$, et $$\langle f, f \rangle = f(0)^{2} + \int_{-1}^{1} f'(t)^{2}\,\mathrm{d} t \geqslant 0$$ par positivité de l'intégrale (chapitre 18, théorème 3). Si $\langle f, f \rangle = 0$, les deux termes, positifs, sont nuls : $f(0) = 0$, et la fonction $f'^{2}$, continue, positive et d'intégrale nulle, est nulle (chapitre 18, théorème 4). Alors $f' = 0$ sur l'intervalle $[-1\,,1]$, donc $f$ est constante, égale à $f(0) = 0$. $$\boxed{\langle f, g \rangle = f(0)g(0) + \int_{-1}^{1} f'g' \ \text{ est un produit scalaire sur } \mathcal{C}^{1}([-1\,,1], \mathbb{R})}$$ Le terme $f(0)g(0)$ est indispensable : sans lui, toute fonction constante non nulle $f$ vérifierait $\langle f, f \rangle = 0$. L'intégrale de $f'^{2}$ ne voit $f$ qu'à une constante près, et l'évaluation en $0$ fixe cette constante.

(b) Si $P$ est de degré $d$ (ou nul), on a $P^{(k)} = 0$ pour $k > d$ : dans la somme, tous les termes d'indice $k > \min(\deg P, \deg Q)$ sont nuls, et elle ne comporte qu'un nombre fini de termes non nuls. Pour $P = \sum_{k} a_{k}X^{k}$, on a $P^{(k)}(0) = k!\,a_{k}$, donc $$\langle P, P \rangle = \sum_{k = 0}^{+\infty} \big(P^{(k)}(0)\big)^{2} = \sum_{k \geqslant 0} (k!)^{2}a_{k}^{2} \geqslant 0,$$ et $\langle P, P \rangle = 0$ impose $a_{k} = 0$ pour tout $k$, c'est-à-dire $P = 0$ ; c'est la formule de Taylor pour les polynômes (chapitre 13, théorème 6), qui dit que les $P^{(k)}(0)$ déterminent $P$. $$\boxed{\langle P, Q \rangle = \sum_{k \geqslant 0} P^{(k)}(0)Q^{(k)}(0) = \sum_{k \geqslant 0} (k!)^{2}a_{k}b_{k} \ \text{ est un produit scalaire sur } \mathbb{R}[X]}$$ Ici $(b_{k})$ désigne la suite des coefficients de $Q$. La seconde écriture montre que c'est le produit canonique des suites de coefficients, pondéré par les facteurs $(k!)^{2}$ : la famille $(X^{k})_{k \in \mathbb{N}}$ est orthogonale, et $\lVert X^{k} \rVert = k!$.

(c) On a $\langle P, P \rangle = \sum_{k = 0}^{n} \big(P^{(k)}(a_{k})\big)^{2} \geqslant 0$. Supposons $\langle P, P \rangle = 0$ : on a $P^{(k)}(a_{k}) = 0$ pour tout $k \in [\![0\,;n]\!]$. Montrons par récurrence descendante sur $k$ que $P^{(k)} = 0$.

• Comme $\deg P \leqslant n$, le polynôme $P^{(n)}$ est constant ; il est nul en $a_{n}$, donc nul.

• Si $P^{(k + 1)} = 0$, avec $k \leqslant n - 1$, le polynôme $P^{(k)}$ a une dérivée nulle : il est constant, et sa valeur en $a_{k}$ est nulle, donc $P^{(k)} = 0$.

Pour $k = 0$, on obtient $P = 0$. $$\boxed{\langle P, Q \rangle = \sum_{k = 0}^{n} P^{(k)}(a_{k})Q^{(k)}(a_{k}) \ \text{ est un produit scalaire sur } \mathbb{R}_{n}[X]}$$ Piège. L'hypothèse $\deg P \leqslant n$ sert à l'initialisation, et c'est là que l'espace de travail intervient : sur $\mathbb{R}_{n + 1}[X]$, le polynôme $X^{n + 1}$ annule tous les $P^{(k)}(a_{k})$ si $a_{0} = \dots = a_{n} = 0$, et la formule n'est plus un produit scalaire. Comme le disait le cours après la proposition 2, l'espace sur lequel on travaille fait partie de la donnée.